热门试卷

（1）详见解析；（2） 详见解析；（3）.

试题分析：（1）利用三角形的中位线定理证明；（2）证明平面，再证；（3）用向量法求解.

试题解析：（1)连结交于，连结,因为四边形为正方形，所以为的中点，又点为的中点，在中，有中位线定理有//，而平面，平面，

所以，//平面.

（2）因为正方形与矩形所在平面互相垂直，所以，，

而，所以平面，又平面，所以.

（3）存在满足条件的.

依题意，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，则，，，，，所，

易知为平面的法向量，设，所以平面的法向量为，所以，即，所以，取，

则，又二面角的大小为，

所以，解得.

故在线段上是存在点，使二面角的大小为，且.

（1）见解析（2）

(1)证明　取AB的中点O，连接EO，CO，∵AE＝EB＝，AB＝2，∴△AEB为等腰直角三角形，∴EO⊥AB，EO＝1，又∵AB＝BC，∠ABC＝60°.

∴△ACB是等边三角形，∴CO＝，又EC＝2，∴EC2＝EO2＋CO2，∴EO⊥CO.

又∵CO∩AB＝O，∴EO⊥平面ABCD，又EO⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面ABCD.

(2)解　以AB中点O为坐标原点，分别以OC，OB，OE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0，－1,0)，C(，0,0)，D，E(0,0,1)．

∴＝(，0，－1)，＝(0,2,0)，＝(0,1,1)．

设平面CDE的法向量n＝(x，y，z)，

令z＝1，解得

∴平面CDE的一个法向量n＝，设直线AE与平面CDE所成角为θ.

∴sin θ＝＝＝.

∴直线AE与平面CDE所成角的正弦值是.

（1）见解析；（2）.

试题分析：（1）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF，先证直线DE⊥面AA1C1C，再证BF⊥面AA1C1C，得D，E，F，B共面，再证DB∥EF ，从而有EF∥AA1，易得所证结论；（2）法1：建立空间直角坐标系，找出所需点的坐标，分别设出面DA1C和平面AA1DB的法向量，并列方程计算出来，再利用向量的数量积计算两向量的夹角的余弦值，便可得得值；法2：延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA1B1B，过B作BH⊥A1 G于点H，连CH，证明∠CHB为二面角A －A1D － C的平面角，在CHB中，根据条件计算的表达式，可得结论.

试题解析：（1）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF.

∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C，∴直线DE⊥面AA1C1C ，3分

又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA1C1C

由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA1，

又点F是AC的中点，所以DB ＝ EF ＝  AA1＝  BB1，所以D点为棱BB1的中点；  6分

（2）解法1：建立如图所示的直角坐标系，设AA1＝ 2b ，AB＝BC ＝ ，则D（0,0,b）,  A1 (a,0,2b),  C (0,a,0)，                                                  7分

所以， ,                          8分

设面DA1C的法向量为则 可取,

又可取平面AA1DB的法向量,

cos〈〉,          10分

据题意有：，                               12分

解得： ＝ .                                      13分

解法2：延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA1B1B，

过B作BH⊥A1 G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1 G⊥CH，

由此知∠CHB为二面角A －A1D － C的平面角；                     9分

设AA1＝ 2b ，AB＝BC ＝；在直角三角形A1A G中，易知AB ＝ BG.

在DBG中，BH ＝  ＝ ，                    10分

在CHB中，tan∠CHB ＝  ＝ ，

据题意有： ＝ tan600 ＝  ，

解得：所以 ＝ .                           13分

(1)详见解析；（2）.

试题分析：(1)先根据题意找到BC中点O，证明，平面，从而以O为原点构造出空间直角坐标系.在写出平面中相关向量坐标以及的坐标，由向量的数量积为0证明线线垂直，从而得到⊥平面；（2）先求出平面的法向量，又由上问可知平面的法向量即，再通过向量的夹角公式得到这两个法向量的夹角余弦值，经观察可知即为二面角余弦值.从而得到本题的解.

试题解析：（1）取BC中点O,连AO,

∵为正三角形, ∴,

∵在正三棱柱中,平面ABC平面,∴平面,

取中点为,以O为原点,,,的方向为,轴的正方向,建立空间直角坐标系,

则.

∴,

∵,.

∴,,∴面   

(2)设平面的法向量为,.

,∴,∴,,令,得为平面的一个法向量,由(1)知面,

∴为平面的法向量,,

经检验易知二面角的余弦值为.