- 用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
- 共1400题
如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PB⊥底面ABCD,BC⊥AB,AD∥BC,AB=AD=2,CD⊥PD,异面直线PA和CD所成角等于60°.
(1)求证:面PCD⊥面PBD;
(2)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小;
(3)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角A-BE-D的余弦值为?若存在,指出点E在棱PA上的位置,若不存在,说明理由.
正确答案
(1)见解析(2)存在
(1)证明:PB⊥底面ABCD,∴PD⊥CD,
又∵CD⊥PD,PD∩PB=P,PD,PB⊂平面PBD.
∴CD⊥平面PBD,又CD⊂平面PCD,
∴平面PCD⊥平面PBD.
(2)如图,以B为原点,BA,BC,BP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设BC=a,BP=b,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,a,0),
D(2,2,0),P(0,0,b).
∵=(2,2,-b),
=(2,2-a,0),CD⊥PD,
∴·
=0,∴4+4-2a=0,a=4,
又=(2,0,-b),
=(2,-2,0),
异面直线PA和CD所成角等于60°,
∴=
,
即=
,解得b=2,
=(0,4,-2),
=(0,2,0),
=(2,0,-2).
设平面PAD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则由得
取n1=(1,0,1),
∵sin θ==
=
,∴直线PC和平面PAD所成角的正弦值为
.
(3)解 假设存在,设=λ
,且E(x,y,z),则(x,y,z-2)=λ(2,0,-2),E(2λ,0,2-2λ),设平面DEB的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
则由得
取n2=(λ-1,1-λ,λ),
又平面ABE的法向量n3=(0,1,0),
由cos θ==
,得
=
,解得λ=
或λ=2(不合题意).
∴存在这样的E点,E为棱PA上的靠近A的三等分点.
如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为________.
正确答案
以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),M,C(0,1,0),N
.则
=
,
=
,
∴cos〈,
〉=
=
=
.
如图所示,已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,
E是棱CC1上的点,且BE⊥B1C.
(1)求CE的长;
(2)求证:A1C⊥平面BED;
(3)求A1B与平面BDE所成角的正弦值.
正确答案
(1) CE="1" (2)证明略(3)A1B与平面BDE所成角的正弦值为
(1) 如图所示,以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz.
∴D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),
C(0,2,0),A1(2,0,4),
B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4).
设E点坐标为(0,2,t),则=(-2,0,t),
=(-2,0,-4).
∵BE⊥B1C,
∴·
=4+0-4t=0.∴t=1,故CE=1.
(2)由(1)得,E(0,2,1),=(-2,0,1),
又=(-2,2,-4),
=(2,2,0),
∴·
=4+0-4=0,
且·
=-4+4+0=0.
∴⊥
且
⊥
,即A1C⊥DB,A1C⊥BE,
又∵DB∩BE=B,∴A1C⊥平面BDE.
即A1C⊥平面BED.
(3) 由(2)知=(-2,2,-4)是平面BDE的一个法向量.又
=(0,2,-4),
∴cos〈,
〉=
=
.
∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为.
斜三棱柱,其中向量
,三个向量之间的夹角均为
,点
分别在
上且
,
=4,如图
(Ⅰ)把向量用向量
表示出来,并求
;
(Ⅱ)把向量用
表示;
(Ⅲ)求与
所成角的余弦值.
正确答案
(Ⅰ),
;(Ⅱ)
;(Ⅲ)
与
所成的角的余弦值
.
试题分析:(Ⅰ)把向量用向量
表示出来,像这一类题,先找以A为始点,以M为终点的封闭图形,因为向量
是用向量
表示出来,而
,可在平面
找,然后转化为与
共线的向量,可求得,求
,求向量的模,往往转化为模的平方来解,由
,故
,利用数量积展开,由
,
之间的夹角均为
,可求得
的值;(Ⅱ)把向量
用
表示,和(Ⅰ)解题思想一样,只是他在空间中找;(Ⅲ)求
与
所成角的余弦值,利用
,分别求出
,
即可.
试题解析:(Ⅰ),所以
,因为
,所以
(Ⅱ),
(Ⅲ),
,
,COS
=
即为
与
所成的角的余弦值.
(本小题满分14分)
如图8,在直角梯形中,
,
,且
.现以
为一边向形外作正方形
,然后沿边
将正方形
翻折,使平面
与平面
互相垂直,如图9.
(1)求证:平面平面
;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的大小.
正确答案
证明(1)(法一)因为平面平面
,
且平面平面
,
又在正方形中,
,
所以,平面
. ………………2分
而平面
,
所以,. ………………3分
在直角梯形中,
,
,
,
所以,,
所以,. ………………4分
又,
平面
,
,
所以,平面
. ………………6分
而平面
,
所以,平面平面
. ……………7分
(法二)同法一,得平面
. …………………………2分
以为原点,
,
,
分别为
,
轴,建立空间直角坐标系.
则,
,
,
. …………………………3分
所以,,
,
,
,
,
所以,,
. …………………………………5分
又,
不共线,
,
平面
,
所以,平面
. …………………………6分
而平面
,
所以,平面平面
. …………………………7分
(2)(法一)因为,
平面
,
平面
,
所以,平面
. …………………………9分
因为平面与平面
有公共点
,
所以可设平面平面
,
.
因为平面
,
平面
,平面
平面
,
所以. ………………………10分
从而,,
又,且
,
,所以
为
中点,
也为正方形. 12分
易知平面
,所以
,
.
所以,是平面
与平面
所成锐二面角的平面角,
而,
所以平面与平面
所成锐二面角为
. …………………………14分
(法二)由(1)知,平面的一个法向量是
. ………………9分
设平面的一个法向量为
,
因为,
所以, 取
,得
,所以
.………………11分
设平面与平面
所成锐二面角为
,
则. ………………………………13分
所以平面与平面
所成锐二面角为
. …………………………14分
略
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