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题型:简答题
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简答题

如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PB⊥底面ABCDBCABADBCABAD=2,CDPD,异面直线PACD所成角等于60°.

(1)求证:面PCD⊥面PBD

(2)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小;

(3)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角A-BE-D的余弦值为?若存在,指出点E在棱PA上的位置,若不存在,说明理由.

正确答案

(1)见解析(2)存在

(1)证明:PB⊥底面ABCD,∴PDCD

又∵CDPDPDPBPPDPB⊂平面PBD.

CD⊥平面PBD,又CD⊂平面PCD

∴平面PCD⊥平面PBD.

(2)如图,以B为原点,BABCBP所在直线分别为xyz轴,建立空间直角坐标系,

BCaBPb,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,a,0),

D(2,2,0),P(0,0,b).

=(2,2,-b),=(2,2-a,0),CDPD

·=0,∴4+4-2a=0,a=4,

=(2,0,-b),=(2,-2,0),

异面直线PACD所成角等于60°,

,解得b=2,

=(0,4,-2),=(0,2,0),=(2,0,-2).

设平面PAD的一个法向量为n1=(x1y1z1),

则由

n1=(1,0,1),

∵sin θ,∴直线PC和平面PAD所成角的正弦值为.

(3)解 假设存在,设λ,且E(xyz),则(xyz-2)=λ(2,0,-2),E(2λ,0,2-2λ),设平面DEB的一个法向量为n2=(x2y2z2),

则由

n2=(λ-1,1-λλ),

又平面ABE的法向量n3=(0,1,0),

由cos θ,得,解得λλ=2(不合题意).

∴存在这样的E点,E为棱PA上的靠近A的三等分点.

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题型:填空题
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填空题

如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,MN分别是A1B1BB1的中点,那么直线AMCN所成角的余弦值为________.

正确答案

D为坐标原点,DAx轴,DCy轴,DD1z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),MC(0,1,0),N.则

∴cos〈〉=.

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题型:简答题
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简答题

如图所示,已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,

E是棱CC1上的点,且BE⊥B1C.

(1)求CE的长;

(2)求证:A1C⊥平面BED;

(3)求A1B与平面BDE所成角的正弦值.

正确答案

(1) CE="1" (2)证明略(3)A1B与平面BDE所成角的正弦值为

(1) 如图所示,以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz.

∴D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),

C(0,2,0),A1(2,0,4),

B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4).

设E点坐标为(0,2,t),则=(-2,0,t),=(-2,0,-4).

∵BE⊥B1C,

·=4+0-4t=0.∴t=1,故CE=1.

(2)由(1)得,E(0,2,1),=(-2,0,1),

=(-2,2,-4),=(2,2,0),

·=4+0-4=0,

·=-4+4+0=0.

,即A1C⊥DB,A1C⊥BE,

又∵DB∩BE=B,∴A1C⊥平面BDE.

即A1C⊥平面BED.

(3) 由(2)知=(-2,2,-4)是平面BDE的一个法向量.又=(0,2,-4),

∴cos〈,〉==.

∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为.

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题型:简答题
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简答题

斜三棱柱,其中向量,三个向量之间的夹角均为,点分别在上且=4,如图

(Ⅰ)把向量用向量表示出来,并求

(Ⅱ)把向量表示;

(Ⅲ)求所成角的余弦值.

正确答案

(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)所成的角的余弦值

试题分析:(Ⅰ)把向量用向量表示出来,像这一类题,先找以A为始点,以M为终点的封闭图形,因为向量是用向量表示出来,而,可在平面找,然后转化为与共线的向量,可求得,求,求向量的模,往往转化为模的平方来解,由,故 ,利用数量积展开,由之间的夹角均为,可求得的值;(Ⅱ)把向量表示,和(Ⅰ)解题思想一样,只是他在空间中找;(Ⅲ)求所成角的余弦值,利用,分别求出,即可.

试题解析:(Ⅰ),所以,因为,所以

(Ⅱ),

(Ⅲ),

,,COS=即为所成的角的余弦值.

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分14分)

如图8,在直角梯形中,,且.现以为一边向形外作正方形,然后沿边将正方形翻折,使平面与平面互相垂直,如图9.

(1)求证:平面平面

(2)求平面与平面所成锐二面角的大小.

正确答案

证明(1)(法一)因为平面平面

且平面平面

又在正方形中,

所以,平面. ………………2分

平面

所以,.        ………………3分

在直角梯形中, ,

所以,

所以,.         ………………4分

平面

所以,平面.    ………………6分

平面

所以,平面平面. ……………7分

(法二)同法一,得平面.              …………………………2分

为原点,分别为轴,建立空间直角坐标系.

.     …………………………3分

所以,,

所以,.                     …………………………………5分

不共线,平面

所以,平面.                           …………………………6分

平面

所以,平面平面.                     …………………………7分

(2)(法一)因为平面平面

所以,平面.                         …………………………9分

因为平面与平面有公共点

所以可设平面平面

因为平面平面,平面平面

所以.                                    ………………………10分

从而,

,且,所以中点,也为正方形.  12分

易知平面,所以

所以,是平面与平面所成锐二面角的平面角,

所以平面与平面所成锐二面角为.     …………………………14分

(法二)由(1)知,平面的一个法向量是. ………………9分

设平面的一个法向量为

因为

所以, 取,得,所以.………………11分

设平面与平面所成锐二面角为

.                ………………………………13分

所以平面与平面所成锐二面角为.    …………………………14分

下一知识点 : 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
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