热门试卷

（Ⅰ）如图所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0），

………3分

………6分

（Ⅱ）①

…10分

②∵，为平面SBC的法向量，

略

（Ⅰ）详见解析；(Ⅱ) .

试题分析：（Ⅰ）依题意，设与的交点，说明为的中位线，//，从而//；(Ⅱ) 用定义法与向量法求解，用定义法，必须作出二面角的平面角，在利用相似三角形对应边成比例及直角三角形中三角函数的定义求解；用向量法，需要建立恰当的空间直角坐标系，本题以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系最佳，求平面的法向量与平面的一个法向量为， 利用公式求解.

试题解析：（Ⅰ）证明： 连接，设与相交于点，连接，

∵ 四边形是平行四边形，∴点为的中点．

∵为的中点，∴为的中位线，

∴//，             2分

∵，

∴//．          4分

(Ⅱ) 解法一 ： ∵平面，//， 则平面，故，

又, 且，

∴ ．               6分

取的中点，连接，则//，且 ．

∴ ．

作，垂足为，连接，由于，且，

∴，∴ ．

∴为二面角的平面角．    9分

由∽，得，得，

在中，．

∴ 二面角的余弦值为．      12分

(Ⅱ) 解法二： ∵平面，， 则平面，故，

又, 且，∴．            6分

以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．则，，，，， 

∴， ，

求得平面的法向量为，

又平面的一个法向量为，

∴  .    

∴ 二面角的余弦值为.    12分

（1）异面直线和所成角的余弦值为;（2）二面角的大小为.

试题分析：（1）建立如图所示坐标系,写出各点的空间坐标，利用，夹角的余弦，得出两异面直线和所成角的余弦值. （2）利用平面的法向量与平面的法向量的夹角，求出二面角的大小.

试题解析：

解：取的中点，连接，为等边三角形，

，又平面平面， 2分

以为原点，过点垂直的直线为轴，为轴， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系.，不妨设,依题意可得：

 3分

（1）,

从而 ,

 5分

于是异面直线和所成角的余弦值为.6分

（2）因为，所以是平面的法向量，8分

设平面的法向量为，又，

由 即，令得 10分

于是 11分

从而二面角的大小为.                     12分

(1)见解析；(2).

试题分析：(1)先利用直线与平面垂直的性质定理，得到 和 ，因为 ，所以利用直线与平面垂直的判定定理可知， ；(2)首先分别以射线，，为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系，由直线与平面垂直的性质定理得到，那么矩形为正方形，由此可知此正方形的边的长度，根据坐标系表示四棱锥出各个顶点的坐标，分别求出平面和平面的法向量的坐标，根据二面角与其法向量夹角的关系，求得二面角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系得到所求二面角的正切值.

试题解析：(1)证明　∵，，∴．2分

同理由，可证得．

又，∴．                               4分

(2)如图，分别以射线，，为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系．

由(1)知，又， ∴．

故矩形为正方形，∴．     6分

∴．

∴．

设平面的一个法向量为，则，即，

∴，取，得．

∵，∴为平面的一个法向量．10分

所以．                  11分

设二面角的平面角为，由图知，，所以．

∴ 所以，即二面角的正切值为．    12分