热门试卷

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析.

试题分析：（Ⅰ）要证明“线线垂直”，可通过证明“线面垂直”而得到.

由于在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，

所以  AC⊥BC．又在直三棱柱ABC-A1B1C1中C C1⊥AC．

因此可得到AC⊥平面B B1C1C．证得AC⊥B1C．

（Ⅱ）证明“线线平行”，往往可通过证明“线线平行”或“面面平行”而得到.

注意连结BC1，利用DE为△ABC1的中位线，得到 DE// AC1．

从而可得AC1∥平面B1CD．

立体几何中的证明问题，要注意表达的规范性及层次性.

试题解析：证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为AB=5，AC=4，BC=3，

所以AC⊥BC．

因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以CC1⊥AC．

因为BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB1C1C．

所以AC⊥B1C．

（Ⅱ）连结BC1，交B1C于E．

因为直三棱柱ABC-A1B1C1，

所以侧面BB1C1C为矩形，且E为B1C中点.

又D是AB中点，所以DE为△ABC1的中位线，所以DE//AC1．

因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，

所以AC1∥平面B1CD．

（1）详见解析；（2）（3）存在，

试题分析：（1）可证平面，从而可得。（2）（空间向量法）以为原点建立空间直角坐标系，如图。根据边长可得各点的坐标，从而可得各向量的坐标，根据向量垂直数量积为0可求平面的法向量，由（1）知平面，所以即为平面的法向量，先求两法向量所成角的余弦值，但应注意两法向量所成的角与二面角的平面角相等或互补，观察可知此二面角为钝角，所以此二面角的余弦值应为负数。（3）设为线段上一点,且，根据向量共线，可用表示出点坐标。分别求两个面的法向量，两面垂直，则两法向量也垂直，即数量积为0，从而可得的值，若所得在内说明存在点满足条件，否则说明不存在。

证明：（1）因为为正四棱柱，

所以平面，且为正方形.                   1分

因为平面，

所以.                                   2分

因为,

所以平面.                                      3分

因为平面,

所以.                                           4分

（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系.则

               5分

所以.                       

设平面的法向量.

所以 .即  6分

令，则.

所以.

由（1）可知平面的法向量为.                  7分

所以.                           8分

因为二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值为.                     9分

（3）设为线段上一点,且.

因为.

所以.                 10分

即.

所以.                                    11分

设平面的法向量.

因为，

所以 .即.                     12分

令，则.

所以.                                     13分

若平面平面，则.

即，解得.

所以当时，平面平面.                14分

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM，PM=．

试题分析：（Ⅰ）求证：平面平面，证明面面垂直，先证线面垂直，即证一个平面过另一个平面的垂线，注意到F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FH∥BC，只要CB⊥平面，则FH⊥平面，由已知EA⊥平面ABCD，则EA⊥CB，而四边形ABCD是正方形，CB⊥AB，从而可得CB⊥平面，即可证出平面平面；（Ⅱ）这是一个探索性命题，一边假设存在，作为条件，进行推理即可，有已知条件，先判断EF⊥PB（因为若EF不垂直PB，则点就不存在），若PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM，注意到三角形是一个直角三角形，这样△PFM∽△PCB，利用线段比例关系，可得PM=，从得结论．

试题解析：（Ⅰ）因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．

又因为CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE． 3分

由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FH∥BC，则FH⊥平面ABE．  5分

而FH⊂平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE． 6分

（Ⅱ）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM．证明如下：在直角三角形AEB中，因为AE=1，AB=2，所以BE= ，

在直角梯形EADP中，因为AE=1，AD=PD=2，所以PE= ，所以PE=BE．

又因为F为PB的中点，所以EF⊥PB．..8分

要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．    ..9分

因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因为CB⊥CD，PD∩CD=D，

所以CB⊥平面PCD，而PC⊂平面PCD，所以CB⊥PC．

若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得 ，      11分

由已知可求得PB=，PF=，PC=，所以PM=    ..12分

（1）证明：见解析；（2）.

试题分析：（1）利用已有的垂直关系，以为原点，，为、轴正向，轴过且平行于，建立空间直角坐标系通过计算，，得到，，

达到证明目的.

（2）由知（1）是平面的一个法向量，

设是平面的一个法向量，利用 ,  

确定得到，由<,>及二面角——为锐二面角，得解.

“向量法”往往能将复杂的证明问题，转化成计算问题，达到化繁为简，化难为易的目的.

试题解析：（1）证明：连接、，设，

∵为菱形，∴，以为原点，，为、轴正向，轴过且平行于，建立空间直角坐标系（图1），    2分

则，

，，   4分

∴ ，，∴，，

又，∴⊥平面.   6分

（2）由知（1）是平面的一个法向量，

设是平面的一个法向量，

,由 ,  

得：，   8分

取，得，于是

<,>   10分

但二面角——为锐二面角，

故其大小为.     12分