热门试卷

（1）；（2）；（3）.

试题分析：本题以四棱锥为几何背景考查线线垂直、线面垂直、线面平行、线线平行的判定，在解题过程中还遇到了等腰直角三角形和直角梯形以及相似三角形等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.第一问，取中点，连结，因为是等腰直角三角形，所以，因为是直角梯形且，所以四边形为正方形，所以，所以平面，所以；第二问，先利用面面垂直，可得到线面垂直，得到锥体的高，用等体积法将转化为,再利用体积公式求值；第三问，先在面内找到线，这是由于// 平面，再利用相似三角形，得到边长的关系，所以，所以.

试题解析：（1）证明：取中点，连结，．

因为，所以．

因为四边形为直角梯形，，，

所以四边形为正方形，所以．

所以平面．    所以 ．             4分

（2）由，面面易得

所以，       8分

（3）解：连接交于点，面面.

因为//平面，所以//．

在梯形中，有与相似，

可得

所以，               12分

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）易证，又因为底面是，边长为的菱形，且为中点，得，最后由线面垂直的判定定理即可证明面；

（2）因为是中点，所以点与到平面等距离，过点作于，由（1）可得平面平面，所以平面，是点到平面的距离，从而求解．

试题解析：（1）因为平面，平面

所以

又因为底面是、边长为的菱形，且M为AD中点，

所以.

又

所以平面

(2)因为是中点，所以点与到平面等距离

过点作于，

由（1）得平面,又面，所以平面平面，

所以平面.

故是点到平面的距离

所以点到平面的距离为.

以D1为原点，D1A1所在直线为x轴，D1C1所在直线为y轴，D1D所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则D1（0，0，0），A1（2，0，0），B1（2，2，0），C1（0，2，0），

D（0，0，2），A（2，0，2），B（2，2，2），C（0，2，2），

P（1，1，4）．

（1）证明：∵=（-1，1，2），=（2，2，0），

∴•=-2+2+0=0，

∴PA⊥B1D1．

（2）平面BDD1B1的法向量为=（-2，2，0）．=（2，0，0），=（1，1，2）．

设平面PAD的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥．

∴∴．取=（0，-2，1），

设所求锐二面角为θ，则

cosθ===．

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）连接,要证,只需证明面,只需证明, 由已知面面垂直，易证,所以,面,得到,因为,易证,所以面,得,得证面，即证 ；（2）设由（1）法一：知，为等边三角形，设，则，分别为，的中点，也是等边三角形．取的中点，连结，，则，，

所以为二面角的平面角，然后用余弦定理计算.法二：如图建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，利用公式,根据实际图形为钝二面角.

试题解析：如图：

（1）证明：连结，因，是的中点，

故．

又因平面平面，

故平面，            2分

于是．

又，

所以平面，

所以，                 4分

又因，

故平面，

所以．                 6分

（2）解法一：由（I），得．不妨设，．          7分

因为直线与平面所成的角，

故，

所以，为等边三角形．                        9分

设，则，分别为，的中点，也是等边三角形．

取的中点，连结，，则，，

所以为二面角的平面角．                     12分

在中，，，                      13分

故，

即二面角的余弦值为．                            14分

解法二：取的中点，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．不妨设，，则，，，，   8分

从而，.

设平面的法向量为，

由，得，

可取．            10分

同理，可取平面的一个法向量为  

．                 12分

于是，   13分

易见二面角的平面角与互补，

所以二面角的余弦值为．                        14分