热门试卷

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）平面与平面的夹角的余弦值为．

试题分析：（Ⅰ）求证平面平面，证明面面垂直，先证线面垂直，即证一个平面过另一个平面的垂线，注意到在底面上的射影是，即平面，由图像可知只需证明即可，因此可连，则为的交点，易知四边形为平行四边形，从而得，这样就得平面，由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）平面与平面的夹角的余弦值，可用传统方法，找二面角的平面角，过点作，垂足为，连接，由三垂线定理得，∴为二面角的平面角，在中求出此角即可；也可用空间向量法，如图分别以为轴建立空间直角坐标系，分别找出两个半平面的法向量，利用法向量来求平面与平面的夹角的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）连结AC,BD, A1C1,则O为AC,BD的交点O1为A1C1,B1D1的交点。

由平行六面体的性质知：A1O1∥OC且A1O1=OC,四边形A1OCO1为平行四边形，      (2分)

A1O∥O1C. 又∵A1O⊥平面ABCD，O1C⊥平面ABCD,             (4分)

又∵O1C平面O1DC, 平面O1DC⊥平面ABCD。       (6分)

（Ⅱ）由题意可知RtA1OB≌RtA1OA,则A1A=A1B，

又∠A1AB=600，故A1AB是等边三角形。                  (7分)

不妨设AB="a," 则在RtA1OA中，OA=a, AA1="a," OA1=a,

如图分别以OB,OC,OA1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，

则可得坐标为A(0,-a,0), B(a,0,0), A1(0,0,,a)         (8分)

=(a,a,0)，  =(-a,0,a)

设平面ABA1的法向量为=(x,y,z)

则由·=0得x+y=0,由·=0得x-z=0

令x=1得=(1,-1,1)                                      (10分)

又知BD⊥平面ACC1A1，故可得平面CAA1的一个法向量为=(1,0,0)

cosθ=||=

从而平面BAA1与平面CAA1的夹角的余弦值为。         (12分)

（1）详见解析；（2）存在，且；（3）的长为.

试题分析：（1）以为原点，、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，并设，利用空间向量法证明，从而达到证明；（2）设点，求出 平面，利用平面转化为，利用向量坐标运算求出知，从而确定点的坐标，最终得到的长；（3）设，利用空间向量法求出二面角的余弦值的表达式，再结合二面角为这一条件求出的值，从而确定的长度.

试题解析：（1）以为原点，、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，

设，则，，，，，

故，，，，

，；

（2）假设在棱上存在一点，使得平面，此时，

有设平面的法向量为，

平面，，，得，

取，得平面的一个法向量为，

要使平面，只要，即有，由此得，解得，即，

又平面，

存在点，满足平面，此时；

（3）连接、，由长方体及，得，

，，

由（1）知，，由，平面，

是平面的一个法向量，此时，

设与所成的角为，得，

二面角的大小为，

，解得，即的长为.

（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．

∵=（-3，0，0），=（0，-4，4），∴•=0，即⊥，

∴AC⊥BC1．

（2）假设在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1，则=λ=（-3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，则D（3-3λ，4λ，0），=（3-3λ，4λ-4，-4），

又=（0，-4，-4），=（-3，0，4），AC1∥平面CDB1，所以存在实数m，n，使=m+n成立，

∴m（3-3λ）=-3，m（4λ-4）-4n=0，-4m-4n=4，

所以λ=，所以在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1，且D为AB的中点．

（1）（2）见解析（3）

试题分析：（1）要证,则需要证明与平面内的两条相交直线垂直,而根据题意已知,故只需再根据题意平面⊥平面,可证,从而证明,则可证明结论.

（2）要证∥平面,则需要在平面内找一条直线与平行,根据点都是中点的特点, 取中点,证明四边形为平行四边形,即有∥,则可证明结论.

（3）要求体积比,首先得找到体积,根据题意可知,分割后形成了两个棱锥,一个四棱锥,一个三棱锥;根据棱锥的体积公式,得找到底面积和高,而其中四棱锥的底面和高比较容易确定,而三棱锥中关键是确定底面和高,确定的依据就是是否有现成的线面垂直,显然,所以确定底面为高.最后分别求体积做比值即可.

试题解析：（1）平面⊥平面 ，平面平面,

平面，而四边形为矩形,

.平面

则,

（2）取中点，连接，则∥，且，又四边形为矩形，

∥，且  四边形为平行四边形，∥

又平面，平面  ∥平面

（3）过作于 ，由题意可得：平面.

所以:.

因为平面, 所以 

所以