热门试卷

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考察线面垂直和二面角的求法，可以用传统几何法，也可以用空间向量法，突出考察空间想象能力和计算能力，（Ⅰ）由平面，得到，要证明平面，只需证明，在中，,在中，，所以,又,,所以，可证平面；（Ⅱ）用向量法求解，先求出面和面的法向量，再利用夹角公式求夹角.

试题解析：（Ⅰ）方法一：如图，以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，               2分

．，，

又， 面．                       6分

方法二：由平面，∴，在中，,在中，，所以,又,,所以，又∵,面

（Ⅱ）设平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则                                         8分

解得．

令，则     10分

二面角的余弦值为．      12分

(1)证明见解析；(2)．

试题分析：(1)要证线线垂直，一般通过证明线面垂直来实现，那么我们就要寻找图形中已有哪些与待证线垂直的直线，本题中首先由已知有，又有平面，则，故可证明与过的平面垂直，从而得线线垂直；(2)要求二面角的大小，一般须根据定义作出二面角的平面角，在三角形中解出，而平面角就是要与二面角的棱垂直的直线(射线)，题中棱是，在两个面(半平面)内与垂直的直线是哪个呢？注意到已知，因此有，从而与都是以为底边的等腰三角形，故垂直关系就是取底边中点，根据等腰三角形的性质有，，就是我们要找的平面角．

试题解析：（1）连接BD，∵⊥平面

平面

∴AC⊥SD         4分

又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD

∴AC ⊥平面SBD

∴AC⊥SB.         6分

（2）设的中点为，连接、，

∵SD=AD,CS=CA,

∴DE⊥SA, CE⊥SA.

∴是二面角的平面角.     9分

计算得：DE＝，CE＝，CD＝2，则CD⊥DE.

,

所以所求二面角的大小为 .   12分

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）连接,要证,只需证明面,只需证明, 由已知面面垂直，易证,所以,面,得到,因为,易证,所以面,得,得证面，即证 ；（2）由（1），得．不妨设，则．因为为等边三角形，则

过作，垂足为，连接，则就是二面角的平面角，易证,求出.

试题解析：（1）证明：连结，因，是的中点，

故．               1分

又因平面平面，

故平面，

于是．            3分

又，

所以平面，

所以，            5分

又因，故平面，

所以．            7分

（2）由（1），得．不妨设，则．

因为为等边三角形，则                  9分

过作，垂足为，连接，

则就是二面角的平面角.                11分

在中，，，，

所以，又，所以

即二面角的正切值为．             14分

（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.

试题分析：（1）要证线面平行，只须在平面内找到一条直线与这条直线平行，对本小题来说，连接交于点，由三角形的中位线定理可证得，问题得证；（2）要证面面垂直，只要在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直即可，由四边形为正方形且为对角线的中点，所以有，故可考虑证明平面，故需要在平面内再找一条直线与垂直即可，由平面平面，交线为且，从而平面，可得，从而问题得证.

试题解析：（1）连接交于,连接

在三角形中，，分别为和的中点

所以∥．         2分

又平面，平面

所以∥平面         4分

（2）因为矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直

平面平面=，，

所以

又，所以         6分

又因为，是的中点，所以

又，所以         7分

由，所以平面⊥平面         8分.