热门试卷

（1）见解析；（2）见解析；（3）.

试题分析：（1）记，先作辅助线，这几乎是用几何法证明线面平行、线面垂直的必经之路了，对些考生要有意识，然后根据线面平行的判定定理进行证明即可；（2）要证明平面平面，只须证平面，然后又只须证明平面的两条相交直线、与垂直；从而实现平面平面；（3）由（2）可知，只须求出，在直角三角形进行求解即可.

试题解析：证明：（1）设和交于点，连

由分别是，的中点，故

∵平面,平面

所以直线平面

（2）长方体中，，底面是正方形，则

，又面，则，

∵平面,平面，

∴面

∵平面

∴平面平面

（3）由（2）已证：面

∴在平面内的射影为

∴是与平面所成的角

依题意得，

在中，,∴

∴与平面所成的角为.

(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值．

试题分析：（Ⅰ）证明：，在立体几何中，证明线线垂直，往往转化为证明线面垂直，从而得线线垂直，本题可利用线面垂直的判定定理，可先证明平面，即证垂直平面内的两条相交直线即可，由题意平面，即，在平面内再找一条垂线即可，由已知，,由余弦定理求出，从而可得，即，从而可证，即得平面；然后利用线面垂直的性质可得；（Ⅱ）求二面角的余弦值，可建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小，本题由（Ⅰ）可知，故以以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设出两个半平面的法向量，利用法向量的性质，求出两个半平面的法向量，利用法向量来求平面与平面的夹角的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）由余弦定理得BD==

∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，BD⊥AB，∵AB∥DC, ∴BD⊥DC

∵PD⊥底面ABCD,BDÌ底面ABCD，∴BD⊥PD

又∵PD∩DC=D,  ∴BD⊥平面PDC,又∵PCÌ平面PDC, ∴BD⊥PC         (6分)

（Ⅱ）已知AB=1，AD=CD=2，PD=,

由（Ⅰ）可知BD⊥平面PDC.

如图，以D为坐标原点，射线DB为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz,则

D(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),P(0,0,),M(0,1，).

=(,0,0),=(0,1，),=(0,-2,),=(,-2,0) （7分）

设平面BDM的法向量=（x,y,z）,则

x=0,y+z=0,令z=, ∴取=（0，-1，）       （8分）

同理设平面BPM的法向量为=（a,b,c）,则

∴=(,1，)            （10分）

∴cos<,> ==-             （11分）

∴二面角D-BM-P的余弦值大小为.          （12分）

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，

试题分析：（Ⅰ）先证平面可得。同理可证，最后根据线面垂直的判定定理可得平面。（Ⅱ）可建系用空间向量法，先求边长得点的坐标即可得向量的坐标。先求面和面的法向量，再求两个法向量所成角的余弦值。两法向量所成的角与二面角相等或互补。需观察图像的二面角的余弦值。（Ⅲ）假设棱上存在点满足条件。设。在（Ⅱ）以求出面的法向量，根据线面角的定义可知直线与平面所成的角正弦值等于与面的法向量所成角的余弦值的绝对值。列式求，若则说明假设成立，否则假设不成立。

试题解析：（Ⅰ）证明：在正方形中，.

因为，，

所以 平面．                                      1分

因为 平面，

所以 ．                                            2分

同理，．

因为 ，

所以 平面．                                    3分

（Ⅱ）解：连接，由（Ⅰ）知平面．

因为平面，

所以．                                            4分

因为，，

所以．

分别以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

由题意可得：，，，．

所以，，，．

设平面的一个法向量，

则 即 令，得.

所以．

同理可求：平面的一个法向量．                6分

所以．

所以二面角的余弦值为．                      8分

（Ⅲ）存在．理由如下：

若棱上存在点满足条件，设，．

所以．       9分

因为平面的一个法向量为．

所以．

令解得：.

经检验．

所以棱上存在点，使直线与平面所成的角是，此时的长为．                  11分

（1）（2）证明见解析

试题分析：（1）要证直线BC与平面PAC垂直只需在面PAC内找两条相交直线与BC垂直即得；（2）要证线面平行方法有两个：一是在面内找一条线与面外的直线平行即可，二是利用面面平行亦可证得线面平行，本题用的是方法二.

试题解析：证明：(1)是圆的直径,得,  1分

由平面,平面,

得,   3分

又, 平面,平面,   5分

所以平面.   6分

(2)连并延长交于,连接,由为的重心，得 为中点．   8分

由为中点，得,

又为中点，得,   10分

因为平面,平面,

平面,平面,   12分

所以平面平面.   13分

因为平面,所以平面.   15分