热门试卷

证明：（1）见解析；（2）二面角的平面角的余弦值为.

试题分析：证明：（1）注意做辅助线，连结和交于，连结，

根据为中点，为中点，得到

， 即证得平面；

（2）应用已知条件，研究得到，

平面，，创造建立空间直角坐标系的条件，通过

以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，

应用“向量法”解题；

解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标系的条件.

试题解析：证明：（1）连结和交于，连结，                                 1分

为正方形，为中点，为中点，

，                                                              3分

平面，平面

平面．                                                        4分

（2）平面，平面，，

为正方形，，

平面，

平面，

平面，                                           6分

以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，

则，，，

平面，平面，

，

为正方形，，

由为正方形可得：，

设平面的法向量为

，

由，令，则

                                                           8分

设平面的法向量为，

，

由 ，令，则，

                                                     10分

设二面角的平面角的大小为，则

二面角的平面角的余弦值为                             12分

（1）见解析（2）见解析（3）135°

试题分析：（1）利用三垂线定理可证；（2）直线与平面平行的判定定理（Ⅲ）证，进而找出二面角的平面角

试题解析：（1）AB是PB在平面ABCD上的射影，

又ABAC，AC平面ABCD， ACPB.

（2）连接BD，与AC相交与O，连接EO，

ABCD是平行四边形O是BD的中点又E是PD的中点， EOPB.又PB平面AEC，EO平面AEC，

PB平面AEC，

（3）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则

EF是△PAD的中位线，EFPA又平面，

同理FO是△ADC的中位线，FOABFO^AC，由三垂线定理可知ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝AB＝PA＝EF。

ÐEOF＝45°而二面角与二面角E－AC－D互补，

故所求二面角的大小为135°.

（1）详见解析；(2) ；(3).

试题分析：（1）证面面垂直，先证明线面垂直.那么证哪条线垂直哪个面？因为ABCD是正方形， .又由平面可得，所以可证平面，从而使问题得证.

(2)设AC交BD=O.由（1）可得平面，所以即为三棱锥的高.由条件易得.

因为，所以可求出底面的面积.又因为PD=2，所以可求出点E到边PD的距离，从而可确定点E的位置.

(3)在本题中作二面角的平面角较麻烦，故考虑建立空间直角坐标系，然后用空间向量求解.

试题解析：（1）证明：四边形ABCD是正方形ABCD，.

平面,平面，所以.

，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

(2) 设.,.

在直角三角形ADB中，DB=PD=2，则PB=

中斜边PB的高h=

即E为PB的中点.

(3) 连接OE，因为E为PB的中点，所以平面.以O为坐标原点，OC为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系.

则A(1,0,0)，  E(0,0,1) ，F(0,-1,) ， D(0,-1,0).

平面EFD的法向量为

设为面AEF的法向量。

令y=1,则

所以二面角A-EF-D的余弦值为

(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

试题分析：(Ⅰ)连接，过点作，交于点，先证明，再由得到，依据直线与平面垂直的判定定理可知，，从而由直线与平面垂直的性质定理可得到；(Ⅱ) 分别以，，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，根据，求得，由，以及，，分别取平面和平面的法向量和，则由已知条件“”可得，从而解出的值；(Ⅲ)当时，，分别求出平面和平面的一个法向量，求出它们的法向量的夹角，根据二面角是一个钝角，那么法向量的夹角或夹角的补角即是所求的二面角.

试题解析：(Ⅰ)连接，过点作，交于点，如图：

∵，∴，

又∵，∴，

∴，又，∴，

∵，∴，

∵，∴.

(Ⅱ)分别以，，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图：

设，则，

∵，，，，

所以，，

取平面的一个法向量，

∵，，取平面的一个法向量，

∴.

（Ⅲ）当时，，，，，，

取平面的一个法向量，

取平面的一个法向量，则，

∴二面角为.