热门试卷

（1）详见解析；（2）详见解析：（3）.

试题分析：（1）通过证明平行四边形分别证明和，利用直线与平面平行的判定定理得到平面和平面，最后利用平面与平面平行的判定定理证明平面平面；（2）证法1是先证明平面，于是得到，由再由四边形为正方形得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；证法2是建立以以点为原点，分别以、、所在的直线为、、轴的空间直角坐标系，利用空间向量法来证明平面；（3）在（2）的基础上利用空间向量法求出二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明：且，四边形是平行四边形，，

面，面平面，

同理可得平面，又，平面平面；

（2）证法1：平面，平面，平面平面，

平面平面，

，，，，，平面，

，，，

又，得为正方形，，

又，平面；

证法2：，，，，，

平面，，平面，

以点为原点，分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系如图示，由已知可、、、、、，

则，，，

，，，，

又，平面.

（3）由（2）得，，

设平面的法向量，则由，得，

令得，

由（2）知是平面的法向量，，

即二面角的余弦值为.

（其它解法请参照给分）

（I）由题意可得：以A为原点，分别以直线AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，且DF=x，则A1（0，0，1），A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，E(1，，0)，F(x，1，0)

所以=(1，-，-1)，=(1，0，1)，=(x，1，0)

由D1E⊥面AB1F⇔⊥且⊥，

所以，可解得x=

所以当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．

（II）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，F(，1，0)

由正方体的结构特征可得：平面AEF的一个法向量为=(0，0，1)，

设平面C1EF的一个法向量为=（x，y，z），

在平面C1EF中，=(0，，1)，=(-，，0)，

所以，即，

所以取平面C1EF的一个法向量为=(2，2，-1)，

所以cos＜，＞=-，

所以＜，＞=π-arccos，

又因为当把，都移向这个二面角内一点时，背向平面AEF，而指向平面C1EF，

所以二面角C1-EF-A的大小为π-arccos

又因为=(-1，0，1)，

所以cos＜，＞=-，

所以＜，＞=135∘，

∴BA1与平面C1EF所成的角的大小为45°．

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

试题分析：（Ⅰ）点是直线中点，证明平面；证明线面平行，主要是证明线线平行，证明线线平行的方法有两种，一种利用三角形的中位线，另一种是利用平行四边形对边平行，此题不符合利用三角形的中位线，可考虑构造平行四边形来证，取的中点连结，证明即可，故只需证明且即可，由作法可知，，为此取的中点，连结，证明即可；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值，处理方法有两种，一传统方法，二向量法，传统方法首先确定二面角，过作的平行线，过作的垂线交于，连结，注意到棱垂直平面，∴是所求二面角的平面角，从而求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值，向量法，建立空间坐标系，以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，主要找两个平面的法向量，平面的一个法向量为．只需设平面的法向量为，由题意求出法向量为即可．

试题解析：（Ⅰ）证明：

取的中点连结，则

，，取的中点，连结，

∵且，∴△是正三角形，∴．

∴四边形为矩形，∴．      4分

又∵，

∴且，四边形是平行四边形．

∴，而平面，平面，∴平面．6分

（Ⅱ）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，

∵，∴，

是平面与平面所成二面角的棱．    8分

∵平面平面，，∴平面，

又∵平面，∴平面，∴，

∴是所求二面角的平面角．      10分

设，则，，

∴，                       

∴．    12分

（法2）∵，平面平面，

∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．设，由已知，得，，．

∴，，       8分

设平面的法向量为，

则且，

∴∴

解之得

取，得平面的一个法向量为.            10分

又∵平面的一个法向量为．   10分

．   12分

以D为坐标原点，DA，DC，DD1依次为x轴、y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，

并设正方体棱长为1，设点E的坐标为E（0，t，0）

（1）=(-1，0，1)，=(1，1-t，1)

∵•=0，

∴EB1⊥AD1

（2）当E是CD中点时，

=(-1，0，1)，=(-1，，0)，

设平面AD1E的一个法向量是=（x，y，z），

则由•=0，•=0

得一组解是=(1，2，1)，

又=(1，1-t，1)，由cosθ==，

从而直线EB1与平面AD1E所成的角的正弦值是

（3）设存在符合题意的E点为E（0，t，0）可得平面AD1E的一个法向量是=(t，1，t)，

平面AME的一个法向量是=(t，1，-)

∵平面AD1E⊥平面AME，

∴•=t2+1-t=0，

解得t=或t=2（舍），

故当点E是CD的中点时，平面AD1E⊥平面AME