热门试卷

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）＜，＞=．

此题主要考查面面垂直和异面直线夹角公式的求法，第二问解题的关键是作出辅助线，此题是一道中档题，也是高考必考题；（1）已知在△ABC中，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=60°，可得AD⊥DC，AD⊥DB，根据面面垂直的判定定理进行求解；

（2）作辅助线，取DC中点F，连接EF，则EF∥BD，可得∠AEF为异面直线AE与BD所成的角，再根据余弦定理和向量公式进行求解；

解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，

∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DBＤＣ＝Ｄ，

∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，∵AD 平面平面BDC．平面ABD平面BDC。----4分

（Ⅱ）由∠ ＢＤＣ＝及（Ⅰ）知DA，ＤＢ，DC两两垂直，不防设=1，以D为坐标原点，以所在直线轴建立如图所示的空间直角坐标系，

易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，），E（，，0），

=，=（1，0,0,），

与夹角的余弦值为

＜，＞=

．--------12分

（Ⅰ）见解析     （Ⅱ）

(I)证明线面垂直根据判定定理需证线面垂直.本小题只需证即可.

（II）如果直接找线面角不容易找，并且容易建立空间直角系的情况下考虑用空间向量法求角比较妥当.本小题就是如此.

由直线与直线所成角为，得

，即，解得．

∴，，，

设平面的一个法向量为，则，

即，取则，得，

设与平面所成角为，则，于是与平面所成角的正弦值为．---------12分

见解析.

第一问是涉及到线面平行的判定，以及四边形的形状问题的证明。

第二问关于二面角的求解，可以利用射影面积公式法，也可以利用法向量的夹角公式来解，通过合理的建立直角坐标系，表示向量，然后求解斜率的夹角，利用互为补角的关系求解得到二面角的大小。

解：（2）依题意，在Rt△ABB’中，，

在Rt△ADD’中，，

所以．………………8分

连结AC，AC’，如图5－2，在Rt△ACC’中，．

所以，故．……10分

（法1）延长CB，C’B’相交于点F，

则，所以．

连结AF，则AF是平面ABCD与平面AB’C’D

的交线．

在平面AB’C’D

内作C’G，垂足为G，

连结．

因为平面AB’C’D，平面AB’C’D，所以AF．

从而平面CC’G，．

所以是平面ABCD与平面AB’C’D所成的一个锐二面角． …………12分

在Rt△AC’F中，，

在Rt△CC’G中，．

所以，

即平面ABCD与平面AB'C'D’所成的锐二面角的余弦值为．………14分

（法2）以c’为原点，c’a为x轴，c’b’为y轴，c’c为z轴，

建立空间直角坐标系（如图5－3），

则平面AB’C’D的一个法向量．

设平面ABCD的一个法向量为，

因为

取z=1，则y=，x=，所以平面ABCD的一个法向量为．

（注：法向量不唯一，可以是与共线的任一非零向量）……………12分

．

所以平面ABCD与平面AB’C’D所成的锐二面角的余弦值为．…………………14分

（法3）由题意，正方形ABCD在水平面上的正投影是四边形AB’C’D，

所以平面ABCD与平面AB’C’D，所成的锐二面角的余弦值． …………12分

所以，

所以平面ABCD与平面AB’C’D所成的锐二面角的余弦值为．…………………14分

（1）见解析（2）见解析

试题分析：证明：（1）在△中，分别是的中点

……6分

（2）在正三角形MPB中，

又

……12分

点评：对于立体几何中的证明题，不外乎线线、线面、面面的平行与垂直的证明，只要根据题意找出各种位置关系需要满足的条件即可，这就要求必须对所学过的定义、判断定理和性质定理记清楚并能灵活运用.