热门试卷

证明略

 (1)取BC的中点O,

∵平面PBC⊥平面ABCD,△PBC为等边三角形,

∴PO⊥底面ABCD.

以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,如图所示,建立空间直角坐标系.

不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=.

∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0, ).

∴=(-2,-1,0), ="(1,-2,-" ).

∵·=（-2）×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0,

∴⊥,∴PA⊥BD.

(2)取PA的中点M,连接DM,则M（,-1,）.

∵=（,0, ）, =(1,0,-),

∴·=×1+0×(-2)+ ×(-)=0,

∴⊥,即DM⊥PA.

又·=×1+0×0+×（-）=0，

∴⊥，即DM⊥PB.

又∵PA∩PB=P，∴DM⊥平面PAB，

∵DM平面PAD.

∴平面PAD⊥平面PAB.

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

试题分析：（1）线面平行判定定理，关键找线线平行.本题利用平行四边形找平行，取中点，则易得；所以四边形为平行四边形，即得应用定理证明时，需写出定理所需条件.（2）证明面面垂直，关键证线面垂直.分析条件知，须证平面，由（1）知，只需证平面.因为为等边三角形，为的中点 ，所以；又可由平面得，这样就可由线面垂直判定定理得到平面.（3）求三棱锥体积，关键找出高线或平面的垂线.利用面面垂直可找出面的垂线.因为平面，所以面平面，过A作两平面交线的垂线，则有平面.因为为等边三角形，所以为中点.

试题解析：

解：（1）取中点，连结，，

分别是，的中点，

∥，且.

∥，              2分

与平行且相等.

四边形为平行四边形，

∥.               3分

又平面，平面.

∥平面.                                      4分

（2）为等边三角形，为的中点，

.                                          5分

又平面，平面.

，                                         6分

又，

平面.                                    7分

∥，平面，                       8分

平面，

平面平面.                             10分

（3）取中点,连结.

,

.

平面，平面

，

又，

平面，

是四棱锥的高，且，           12分

.           14分