用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

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题型：单选题

单选题

（2015秋•滨州期末）设直线l的方向向量是=（-2，2，t），平面α的法向量=（6，-6，12），若直线l⊥平面α，则实数t等于（　　）

B-4

D-2

正确答案

解析

解：∵直线l⊥平面α，且

直线l的方向向量是=（-2，2，t），平面α的法向量=（6，-6，12），

∴∥，

∴==，

解得t=-4．

故选：B．

题型：单选题

单选题

已知空间直角坐标系中点A（1，0，0），B（2，0，1），C（0，1，2），则平面ABC的一个法向量为（　　）

A（-1，-3，2）

B（1，3，-1）

C（1，3，1）

D（-1，3，1）

正确答案

解析

解：=（1，0，1），=（-1，1，2），

设平面ABC的法向量为=（x，y，z），

则，取x=1，则z=-1，y=3．

∴=（1，3，-1）．

故选：B．

题型：单选题

单选题

已知直线l的一个方向向量为=（1，-1，-2），平面α的一个法向量为=（2，-2，-4），则（　　）

Al∥α

Bl⊂α

Cl⊥α

D直线l与平面α相交但不垂直

正确答案

解析

解：∵直线l的一个方向向量为=（1，-1，-2），

平面α的一个法向量为=（2，-2，-4），

又∵=2，∴，

∴l⊥α

故选：C

题型：简答题

简答题

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2．

（1）B1D1与A1D能否垂直？请证明你的判断；

（2）当∠A1B1C1在上变化时，求异面直线AC1与A1B1所成角的取值范围．

正确答案

解：∵菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1于O1，

设AC∩BD=O，分别以O1B1，O1C1，O1O所在直线为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，设B1（a，0，0），C1（0，b，0）（a2+b2=1），

则D1（-a，0，0），A1（0，-b，0），D（-a，0，2）

（1）∵，

∴

∴B1D1与A1D不能垂直．

（2）∵∠A1B1C1∈，∴，

∵A（0，-b，2）∴，

，

∴

∵a2+b2=1，∴设a=cosα，b=sinα，又，

∴

∵2≤csc2α≤4，∴

∴直线AC1与A1B1所成角的取值范围是．

解析

解：∵菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1于O1，

设AC∩BD=O，分别以O1B1，O1C1，O1O所在直线为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，设B1（a，0，0），C1（0，b，0）（a2+b2=1），

则D1（-a，0，0），A1（0，-b，0），D（-a，0，2）

（1）∵，

∴

∴B1D1与A1D不能垂直．

（2）∵∠A1B1C1∈，∴，

∵A（0，-b，2）∴，

，

∴

∵a2+b2=1，∴设a=cosα，b=sinα，又，

∴

∵2≤csc2α≤4，∴

∴直线AC1与A1B1所成角的取值范围是．

题型：填空题

填空题

（2015春•宿迁期末）已知直线l∥平面α，l的一个方向向量为（t，2，4），α的法向量为（，1，2），则实数t的值为______．

正确答案

-20

解析

解：∵直线l∥平面α，l的一个方向向量为=（t，2，4），α的法向量为=（，1，2），

∴==0，

解得t=-20．

故答案为：-20．

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