用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

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题型：单选题

单选题

与向量=（12，5）平行的单位向量为（　　）

C或

D或

正确答案

解析

解：设与向量=（12，5）平行的单位向量，

所以

=，或

故选C．

题型：填空题

填空题

直线ax+2y+3=0和直线2x+ay-1=0具有相同的方向向量，则a=______．

正确答案

±2

解析

解：∵直线ax+2y+3=0和直线2x+ay-1=0具有相同的方向向量

∴两条直线互相平行，可得，解之得a=±2

故答案为：±2

题型：填空题

填空题

我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（-3，4），且其法向量为 =（1，-2）的直线方程为1×（x+3）+（-2）×（y-4）=0，化简得x-2y+11=0．类比上述方法，在空间坐标系O-xyz中，经过点A（1，2，3），且其法向量为=（-1，-1，1）的平面方程为______．

正确答案

x+y-z=0

解析

解：根据法向量的定义知，当为平面α的法向量时，⊥α，

任取平面α内一点P（x，y，z），则⊥；

∵=（1-x，2-y，3-z），=（-1，-1，1）；

∴•=-1•（1-x）-1•（2-y）+1•（3-z）=0，

化简得x+y-z=0．

故答案为：x+y-z=0．

题型：简答题

简答题

已知直线l的法向量=（-3，2），并且与x轴、y轴围成的三角形的面积为3，求直线l的方程．

正确答案

解：∵直线l的法向量为=（-3，2），

∴直线l的方程为-3x+2y+c=0，

∴直线l与x轴的交点为A（，0），与y轴的交点为B（0，-）；

∴△AOB的面积为•||•|-|=3，

解得c=±6；

∴直线l的方程为-3x+2y+6=0或-3x+2y-6=0，

即3x-2y-6=0或3x-2y+6=0．

解析

解：∵直线l的法向量为=（-3，2），

∴直线l的方程为-3x+2y+c=0，

∴直线l与x轴的交点为A（，0），与y轴的交点为B（0，-）；

∴△AOB的面积为•||•|-|=3，

解得c=±6；

∴直线l的方程为-3x+2y+6=0或-3x+2y-6=0，

即3x-2y-6=0或3x-2y+6=0．

题型：单选题

单选题

如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱B1C1的中点，点F（x，y，z）是正方体的面AA1D1D上的点，且CF∥平面A1BE，则点F（x，y，z）满足方程（　　）

Ay-z=0

By-z-1=0

C2y-z-2=0

D2y-z-1=0

正确答案

解析

解：如图知B（2，0，0），E（2，1，2），A1（0，0，2），C（2，2，0）

故=（-2，y-2，z），=（0，1，2），=（-2，0，2）

令平面A1BE的法向量为=（m，n，k）则，即令m=1，得n=-2，k=1，故平面A1BE的法向量为=（1，-2，1）

又，故有-2-2y+4+z=0，即2y-z-2=0

故选C

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