直线与圆锥曲线的位置关系_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆的上顶点为B,左焦点为,离心率为,

24.求直线BF的斜率;

25.设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B）,过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与y轴交于点M,.

（i）求的值;

（ii）若,求椭圆的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

2.

解析

试题分析：先由及得,直线BF的斜率.

设 ,由已知及可得 ,又因为 , ,故直线BF的斜率 .

考查方向

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，属于中档题．

解题思路

高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.

易错点

椭圆几何性质的理解运用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（i） ;（ii）

解析

试题分析：（i）先把直线BF,BQ的方程与椭圆方程联立,求出点P,Q横坐标,可得（ii）先由得=,由此求出c=1,故椭圆方程为

设点 ,（i）由第24小题可得椭圆方程为直线BF的方程为 ,两方程联立消去y得解得 .因为,所以直线BQ方程为 ,与椭圆方程联立消去y得 ,解得 .又因为 ,及得

（ii）由（i）得,所以,即 ,又因为,所以=.

又因为, 所以,因此所以椭圆方程为

考查方向

本题考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．

解题思路

高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.

易错点

；韦达定理的正确运用及正确化简计算

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于两点．若线段的中点为，则直线l的方程为( )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

易知抛物线的方程为.设则，两式相减得：

，所以AB的斜率，从而直线AB的方程为，即.

考查方向

直线与圆锥曲线的位置关系。

解题思路

直接使用点差法即可算出直线的斜率，用点斜式即可得到所求直线的方程。

易错点

没有想到点差法。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知椭圆C：的离心率为，右顶点。

(1)求椭圆C的方程；

(2)在轴上是否存在定点，使得过M的直线l交椭圆于B、D两点，且恒成立?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

（1）；（2）存在定点(1,0)。

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的位置关系的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接根据已知条件构造方程即可解出；（2）设而不求的方法得到一个等式后可以解出m的值。

(1)由得，所以椭圆的方程为

(2)设,直线l的方程设为,与椭圆的方程联立得:

所以

从而,整理得:

解得: (舍去)或

故在轴上是否存在定点(1,0), 使得过M的直线l交椭圆于B、D两点，且恒成立.

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系。

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题步骤如下：（1）直接根据已知条件构造方程即可解出；（2）设而不求的方法得到一个等式后可以解出m的值。

易错点

第2问不会用设而不求的方法来解答。

知识点

双曲线的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，椭圆（>>0）的左右焦点分别为,,且过的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

26.若||=2+，||=2-，求椭圆的标准方程.

27.若|PQ|=||，且，试确定椭圆离心率的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

试题分析：由椭圆的定义知可求出的值，再由及勾股定理可求得的值，最后由求得的值，从而根据椭圆的标准方程得到结果.

试题解析：由椭圆的定义，

设椭圆的半焦距为，由已知，因此

即

从而

故所求椭圆的标准方程为.

考查方向

本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

本题椭圆的定义、标准方程、简单几何性质的应用，应用椭圆的定义及基本量间的关第易于求解，本题属于较难题，

易错点

注意运算的准确性.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

试题分析：由,得

由椭圆的定义，,进而

于是.解得，

故．再注意到从而,两边除以，得,若记，则上式变成.再由，并注意函数的单调性，即可求得离心率的取值范围。

试题解析：（2）如（1））图，由,得

由椭圆的定义，,进而

于是.

解得，故.

由勾股定理得,

从而,

两边除以，得,

若记，则上式变成.

由，并注意到关于的单调性，得，即，

进而，即.

考查方向

本题考查了椭圆的定义标准方程及不等式的性质、“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

应用条件、椭圆的定义及勾股定理建军立离心率与的关系式，从而将离心率表示成为的函数，然后得用函数相关知识，求其值域，即是所求的范围，本题属于较难题，

易错点

函数思想方法的应用.

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.过双曲线x2－=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若2<|AB|<4，则这样的直线l共有（）

A1条

B2条

C3条

D4条

正确答案

B

解析

当|AB|=2时，只有一条，此时是x轴；

当|AB|=4时，有三条，其中两条交在两支上，另一条垂直于x轴

那么当2<|AB|<4时，有两条.

知识点

双曲线的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8.抛物线y=x2与直线x－y+2=0构成封闭平面区域(含边界)为D。若曲线x2－2ax+y2－4y+a2+=0与D有公共点，则a的最小值为（）

A－

B－

C－

D－

正确答案

C

解析

曲线x2－2ax+y2－4y+a2+=0，即为(x－a)2+(y－2)2=

其圆心坐标为E(a，2)，半径r=.

由图可知，当0≤a≤时，圆与点D有公共点；

当a<0时，要圆与点D有公共点，只需圆心到直线l：x－y+2=0的距离d==≤

得－≤a<0，则a的最小值为－.

知识点

二元一次不等式（组）表示的平面区域求非线性目标函数的最值点与圆的位置关系直线与圆锥曲线的综合问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.过点M(-2，0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1，P2，线段P1P2的中点为P。设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP(O为坐标原点)的斜率为k2，则k1k2等于（）

A- 2

B2

C-

D

正确答案

C

解析

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x0，y0)，则=2，=2

两式作差得=0

∴k1==－=-

又k2=，∴k1k2=- ，故选C.

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20.如图，轴，点M在DP的延长线上，且．当点P在圆上运动时。

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）过点的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。

正确答案

解:（1）设点的坐标为，点的坐标为，

则，，所以，， ①

因为在圆上，所以 ②

将①代入②，得点的轨迹方程C的方程为．

（2）由题意知，．

当时，切线的方程为，点A、B的坐标分别为

此时，当时，同理可得；

当时，设切线的方程为

由

得③

设A、B两点的坐标分别为，则由③得：

．

又由l与圆相切，得即

所以

因为且当时，|AB|=2，

所以|AB|的最大值为2

依题意，圆心到直线AB的距离为圆的半径，

所以面积，

当且仅当时，面积S的最大值为1，

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

直线与圆相交的性质直线与圆锥曲线的综合问题相关点法求轨迹方程

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