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1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

若曲线与曲线在交点处有公切线,则

A-1

B0

C1

D2

正确答案

C

解析

知识点

定义法求轨迹方程
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a=

A2

B-2

C

D-

正确答案

B

解析

知识点

定义法求轨迹方程
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知曲线的方程是,给出下列三个结论:

① 曲线C与两坐标轴有公共点;

② 曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形;

③ 若点P,在曲线C上,则的最大值是.

其中,所有正确结论的序号是_____。

正确答案

② ③

解析

知识点

定义法求轨迹方程
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

双曲线的实轴长是

A2

B

C4

D4

正确答案

C

解析

知识点

定义法求轨迹方程
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

曲线y=处的切线方程为        。

正确答案

解析

知识点

定义法求轨迹方程
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知

(1)求处的切线方程;

(2)若使得成立,求实数的取值范围。

正确答案

(1)切线方程为

(2)

解析

(1),                                  …………………(1分)

,                                            …………………(2分)

故切线方程为;                           …………………(4分)

(2)

,                       …………………(6分)

,即,则

上单调递增,又,不符舍去。       …………………(8分)

②若,则,,

,

,

上单调递减,在单调递增,

…………………(10分)

,则必有,                           …………………(11分)

。          …………………(12分)

知识点

定义法求轨迹方程
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

在平面直角坐标系中,点P到两圆C1与C2的圆心的距离之和等于4,其中C1,C2. 设点P的轨迹为

(1)求C的方程;

(2)设直线与C交于A,B两点,问k为何值时?此时的值是多少?

正确答案

见解析。

解析

(1)由已知得两圆的圆心坐标分别为.

设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴长为2的椭圆。

它的短半轴长

故曲线C的方程为

(2)设,其坐标满足

消去y并整理得

 ,∴

于是

,得.

因为

所以当时,有,即.

时,

所以

知识点

直线与圆锥曲线的综合问题定义法求轨迹方程
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆(a>b>0)的右焦点为,离心率为

(1)求椭圆C的方程;

(2)斜率为k的直线l经过点M且与椭圆C交于不同两点A,B,当点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围。

正确答案

(1)

(2)(-∞,

解析

(1)由右焦点,可得, .................1分

又离心率,可得   ....................2分

又  ....................3分

所以标准方程为  ......................5分

(2)设直线与曲线C的交点为

联立方程组, .....................2分

所以,..................3分

由右焦点F(2,0),

因为右焦点F在以AB为直径的圆内时,所以<0................5分

所以.................6分

所以<0   所以 ....................8分

经检验当时,有解,即直线与椭圆相交  所以直线的斜率的范围为(-∞,)...............9分

知识点

定义法求轨迹方程
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

设点P(x,y)到直线x=2的距离与它到定点(1,0)的距离之比为,并记点P的轨迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程;

(2)设M(-2,0)的,过点M的直线l与曲线C相交于E,F两点,当线段EF的中点落在由四点C1(-1,0),C2(1,0),B1(0,-1),B2(0,1)构成的四边形内(不包括边界)时,求直线l斜率的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

知识点

定义法求轨迹方程
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知函数,其中

(1)若,求曲线在点处的切线方程;

(2)求在区间上的最小值。

正确答案

(1)

(2)

解析

(1)解:的定义域为,且 。    ………………2分

时,

所以曲线在点处的切线方程为

。  ………………4分

(2)解:方程的判别式,………………5分

,得 ,或,……………6分

的情况如下:

的单调增区间为;单调减区间为

………………9分

① 当时,,此时在区间上单调递增,

所以在区间上的最小值是。   ………………10分

② 当时,,此时在区间上单调递减,在区间上单调递增,

所以在区间上的最小值是 。……………12分

③ 当时,,此时在区间上单调递减,

所以在区间上的最小值是。   ………………13分

综上,当时,在区间上的最小值是;当时,在区间上的最小值是;当时,在区间上的最小值是

知识点

定义法求轨迹方程
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