函数的定义域、值域
共4403题

· 函数的定义域、值域

函数的定义域、值域
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题型：简答题

简答题

已知直线l：y=k(x+2)与圆O：x2+y2=4相交于不重合的A、B两点，O是坐标原点，且三点A、B、O构成三角形，

（1）求k的取值范围；

（2）三角形ABO的面积为S，试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；

（3）求S的最大值，并求取得最大值时k的值。

正确答案

解：(1)，

而；

（2）∵l：，

∴，

∴（-1＜k＜1且k≠0）；

（3）设，

则，

∴，

∴当时，，

∴S的最大值为2，取得最大值时，。

题型：简答题

简答题

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元，

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r。

正确答案

解：（Ⅰ）由题意可知，，

即，则0＜r≤2，

容器的建造费用为，

即，定义域为{r|0＜r≤2}。

（Ⅱ），令y′=0，得，

令，即c=4.5，

（1）当3＜c≤4.5时，，当0＜r≤2时，y′＜0，函数y为减函数，当r=2时，y有最小值；

（2）当c＞4.5时，，当时，y′＜0；当时，y′＞0，

此时当时，y有最小值。

题型：填空题

填空题

下列四个命题：

①f（x）=+有意义；

②函数是其定义域到值域的映射；

③函数y=2x（x∈N）的图象是一直线；

④函数y=的图象是抛物线，其中正确的命题序号是 ______．

正确答案

对于①，当x-2≥0，1-x≥0时有意义，这样的x不存在，故①错

对于②函数是其定义域到值域的映射，故②对

对于③，函数y=2x（x∈N）的图象是一些孤立的点故③错

对于④，函数的图象是两段抛物线．故④错

故答案为②

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1﹣x）=f（1+x），且函数g（x）=f（x）﹣x只有一个零点．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）求实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域为[m，n]时，f（x）的取值范围是[3m，3n]．

正确答案

解：（Ⅰ）因为二次函数f（x）=ax2+bx满足条件f（1﹣x）=f（1+x），

所以函数f（x）图象的对称轴是直线x=1．

所以﹣=1，即b=﹣2a．

因为函数g（x）=f（x）﹣x只有一个零点，即ax2﹣（2a+1）x=0有等根．

所以△=（2a+1）2=0．

即a=﹣，b=1．

所以f （x）=﹣x2+x．

（Ⅱ）①当m＜n＜1时，f （x）在[m，n]上单调递增，f （m）=3m，f （n）=3n，

所以m，n是﹣x2+x=3x的两根．

解得m=﹣4，n=0；

②当m≤1≤n时，3n=，解得n=．不符合题意；

③当1＜m＜n时，f （x）在[m，n]上单调递减，

所以f （m）=3n，f （n）=3m．

即﹣m2+m=3n，﹣n2+n=3m．

相减得﹣（m2﹣n2）+（m﹣n）=3（n﹣m）．

因为m≠n，所以﹣（m+n）+1=﹣3．

所以m+n=8．将n=8﹣m代入﹣m2+m=3n，得﹣m2+m=3（8﹣m）．

但此方程无解．

所以m=﹣4，n=0时，f （x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]．

题型：简答题

简答题

如图，已知：射线OA为y=kx(k＞0，x＞0)，射线OB为y=-kx(x＞0)，动点P(x，y)在∠AOx的内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四边形ONPM的面积恰为k。

（1）当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；

（2）根据k的取值范围，确定y=f(x)的定义域。

正确答案

解：（1）设M(a，ka)，N(b，-kb)，(a＞0，b＞0)，

则|OM|=a，|ON|=b，

由动点P在∠AOx的内部，得0＜y＜kx，

∴，

∴S四边形ONPM=S△ONP+S△OPM=（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）

=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x - (a-b)y]=k，

∴k(a+b)x-(a-b)y=2k， ①

又由，分别解得a=，b=，

代入①式消a、b，并化简得x2-y2=k2+1，

∵y＞0，

∴y=。

（2）由0＜y＜kx，得 0＜＜kx，

(*)

当k=1时，不等式②为0＜2恒成立，∴(*)x>；

当0＜k＜1时，由不等式②得，x＜，

∴(*)；

当k＞1时，由不等式②得，且＜0，

∴(*)，

但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，

所以还必须满足条件：y＜x，

将它代入函数解析式，得，

解得：(k＞1)，或x∈k（0＜k≤1）；

综上：当k=1时，定义域为{x|x＞}；

当0＜k＜1时，定义域为{x|}；

当k＞1时，定义域为{x|}。

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