函数的定义域、值域
共4403题

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题型：简答题

简答题

.设函数且。

（Ⅰ）求的解析式及定义域。（Ⅱ）求的值域。

正确答案

解：（Ⅰ）所以

因为解得

所以函数的定义域为。······························5分

（Ⅱ）

所以函数的值域为····························10分

略

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=．

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）求证f（x）在[0，+∞）上是减函数；

（3）求f（x）的最大值．

正确答案

（1）∵f（x）=，∴x∈R，

∵f（-x）===f（x），

∴函数f（x）=是偶函数．

（2）在[0，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2．

f（x1）-f（x2）=-

=，

∵0≤x1＜x2．

∴＞0，

∴f（x1）-f（x2）＞0，

∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．

（3）∵f（x）在[0，+∞）上是减函数，f（x）是偶函数，

∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，

∴f（x）max=f（0）=．

题型：简答题

简答题

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域D内存在x0，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立。

（Ⅰ）函数是否属于集合M？说明理由；

（Ⅱ）若函数f(x)=kx+b属于集合M，试求实数k和b满足的约束条件；

（Ⅲ）设函数属于集合M，求实数a的取值范围。

正确答案

解：（Ⅰ），

若，则存在非零实数x0，使得，即，

此方程无实数解，所以函数。

（Ⅱ）D=R，由，存在实数x0，

使得，解得b=0，

所以，实数k和b的取值范围是k∈R，b=0。

（Ⅲ）依题意a＞0，D=R。

由得，存在实数x0，

，即，

又a＞0，化简得，

当a=2时，，符合题意；

当a＞0且a≠2时，由△≥0得，

化简得，解得，

综上，实数a的取值范围是。

题型：填空题

填空题

给出下列几个命题：

①若函数的定义域为，则一定是偶函数；

②若函数是定义域为的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称；

③已知是函数定义域内的两个值，当时，，则是减函数；

④设函数的最大值和最小值分别为和，则；

⑤若是定义域为的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数．

其中正确的命题序号是．（写出所有正确命题的序号）

正确答案

①④⑤

试题分析：① ，故是偶函数；故为真命题；②函数的图像关于（1，0）成中心对称，故为假命题；③若是减函数，则要求任意，均有，由于③中是函数定义域内的两个值，不具有任意性，故为假命题；④函数的定义域为，将两边同时平方得，则，所以，即；⑤由是奇函数可得，令得，故周期为4，是真命题.

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)="lg(a" x+ax+1)。(1)若f(x)的定义域R，求实数a的取值范围；（2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围。

正确答案

（1）0≤a<4 （2）a≥4

设U=" a" x+ax+1。（1）f(x)的定义域R，即对x，U>0恒成立，∴a=0或a>0且⊿=-4 a<0 ∴0≤a<4。即0≤a<4时，f(x)的定义域R。

（2）f(x)的值域为R，即U能够取得一切正实数，∴a>0且⊿=-4 a≥0，解得a≥4，即

a≥4时，f(x)的值域为R。

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