函数的定义域、值域
共4403题

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函数的定义域、值域
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题型：简答题

简答题

已知向量=（sinx，-1），=（cosx，-），函数f（x）=（+）•-2．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T：

（Ⅱ）若x∈[，]，试求f（x）的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）由题意可得，函数f（x）=（+）•-2=

2+•-2=1+sin2x+sinxcosx+-2

=sin2x+-=sin（2x-），

故函数f（x）的最小正周期T==π．

（Ⅱ）若x∈[，]，≤2x-≤，故当2x-= 时，f（x）取得最小值为-1，

当2x-=时，f（x）取得最大值为1，

故函数f（x）的取值范围是[-1，1]．

题型：简答题

简答题

函数y=f（x）是定义在区间(-∞，-]∪[，+∞)上的奇函数，当x≥时，f（x）=2x-x2．

（1）求x≤-时，f（x）的解析式；

（2）若函数g（x）=，求g（x）的值域．

正确答案

（1）∵当x≤-时，-x≥

则f（-x）=2（-）x-（-x）2=-2x-x2=-f（x）

∴x≤-时，f（x）=2x+x2

（2）当x≥时，g（x）==2-(x+)≤2-2=0，当且仅当x=1时取等号

当x≤-时，g（x）==2+x-≤

所以，该函数的值域为(-∞，]

题型：简答题

简答题

（2011•山东）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．

（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

（2）求该容器的建造费用最小时的r．

正确答案

（1）y=2π•，（0，2]

（2）

（1）由体积V=，解得l=，

∴y=2πrl×3+4πr2×c

=6πr×+4cπr2

=2π•，

又l≥2r，即≥2r，解得0＜r≤2

∴其定义域为（0，2]．

（2）由（1）得，y′=8π（c﹣2）r﹣，

=，0＜r≤2

由于c＞3，所以c﹣2＞0

当r3﹣=0时，则r=

令=m，（m＞0）

所以y′=

①当0＜m＜2即c＞时，

当r=m时，y′=0

当r∈（0，m）时，y′＜0

当r∈（m，2）时，y′＞0

所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．

②当m≥2即3＜c≤时，

当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．

所以r=2是函数y的最小值点．

综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r=2；

当c＞时，建造费用最小时r=

题型：简答题

简答题

对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）?f（a-x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．

（1）判断函数f（x）=4x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；

（2）已知函数g（x）是“（1，4）型函数”，当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤3成立，且当x∈[0，1]，g（x）=x2+m（1-x）+1（m＞0）．试求m的取值范围．

正确答案

题型：简答题

简答题

已知f(x)=loga（a＞0且a≠1）．

（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；

（2）若a＞1，用单调性定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；

（3）是否存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1-logan，1-logam]，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，则说明理由．

正确答案

（1）由＞0得：x＜-1或x＞1．

所以，函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

又∵f(-x)=loga=loga=-loga=-f(x)

∴f（x）为奇函数．

（2）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则x1-x2＜0．

因为-=＞0

所以＞，又因为a＞1，所以loga＞loga，

故f（x1）＞f（x2），所以，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．

（3）假设存在实数a满足题目条件．

由题意得：m＞0，n＞0，又∵[m，n]⊆（-∞，-1）∪（1，+∞），

∴1＜m＜n

又∵1-logan＞1-logam，

∴logam＞logan，解得a＞1．

由（2）得：函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．

所以，函数f（x）在区间[m，n]上单调递减．

故，，所以，

所以，∴m，n是方程x2+（1-a）x+a=0的两个不同的实根．

故，方程x2+（1-a）x+a=0在区间（1，+∞）上有两个不同的实根．

则，解得：a＞3+2．又∵a＞1，

所以，a＞3+2

所以，满足题目条件的实数a存在，实数a的取值范围是(3+2，+∞)．

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