立体几何与空间向量_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

8．设一个正方体与底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________.

正确答案

解析

设正方体的棱长为a,利用等体积法即可计算出正方体的棱长为a=。

考查方向

本题主要考查了空间几何体的体积计算及空间想象能力，体现了学生的基础知识掌握能力。

解题思路

空间几何体的体积计算及空间想象能力

易错点

对几何体的体积计算公式理解不到位，使用错公式。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图，直三棱柱中，，，是棱上的点,.

(1)证明：平面；

(2)平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

正确答案

（1）见解析；（2）3：2．或2：3

解析

试题分析：本题属于立体几何的证明和体积的求解问题，（1）要证明面面垂直，只要证明线面垂直，而线面垂直又最终转化为证明线线垂直；（2）分别计算2个几何体的体积即可。

(1)由题意 ,所以,又,所以．

又,易知 ,所以

,所以面．

(2)设棱锥的体积为,,则有 ,又,

所以分此棱柱的体积比为3：2．或2：3

考查方向

本题考查了立体几何的证明和体积的求解问题。

解题思路

本题考查立体几何的证明和体积的求解问题，解题步骤如下：（1）要证明面面垂直，只要证明线面垂直，而线面垂直又最终转化为证明线线垂直；（2）分别计算2个几何体的体积即可。

易错点

不熟练面面垂直的判定定理。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面垂直的判定与性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8. 三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（）

A

B

C

D8

正确答案

C

解析

因为三条侧棱两两垂直，所以可设，由题意可知，，则长方体的对角线的长为，所以半径为，所以

考查方向

球的体积和表面积;球内接多面体

解题思路

三棱锥的外接球实际上是它扩展为长方体的外接球,求长方体的对角线的长,就是球的直径,然后求球的体积

易错点

立体感不强;计算能力弱

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积与球体有关的内切、外接问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．在正三棱锥V—ABC内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于__________．

正确答案

解析

设球心为O，设底边OD=x和体高OP=x，如图：则

考查方向

本题考察了导数在最大值、最小值问题中的应用；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．

解题思路

1）设底边长a和侧高l

2）把三棱锥的体积分割成以球心为定点的三个三棱锥，求体积之和即椎体的体积

3）根据体积求出a.l的关系

４）利用公式计算体高

易错点

主要易错于球的几何性质用错

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是______.

正确答案

解析

由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为0.5，如图，三棱锥底面积是三棱柱底面积的，高为1，，故三棱锥的体积为.

考查方向

本题主要考察几何体的体积的求法，意在考察考生的转化与划归能力。

解题思路

先求出三棱柱的底面积，后寻找三棱柱和三棱锥之间的关系即可求得答案。

易错点

看不出三棱锥和三棱柱之间的关系导致无法得到正确答案。

知识点

由三视图还原实物图棱柱、棱锥、棱台的体积

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有( )

A14斛

B22斛

C36斛

D66斛

正确答案

B

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图，在三棱锥P－AMC中，AC＝AM＝PM＝2，PM⊥面AMC，AM⊥AC，B，D分别为CM，AC的中点．

（Ⅰ）在PC上确定一点E，使得直线PM∥平面ABE，并说明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接AE，与PD相交于点N，求三棱锥B－ADN的体积．

正确答案

（1）E为PC的中点；（2）。

解析

试题分析：本题属于立体几何证明与求体积的问题，（1）利用线面垂直的判定定理来证明；（2）将体积最终转化为。

（Ⅰ）E为PC的中点．理由如下：

连接BE，由于B，E分别为CM，PC的中点，

所以BE∥PM，

又BE平面ABE，PM平面ABE，

所以PM∥面ABE．

（Ⅱ）由于AE，PD分别是△PAC的边PC，AC上的中线，所以AE和PD的交点N为△PAC的重心，故N为PD靠近D的三等分点，

则，

而因为D为AC的中点，所以，

又由于E为PC的中点，

所以，

所以三棱锥B－AND的体积为．

考查方向

本题考查了立体几何证明与求体积的问题。

解题思路

本题考查立体几何证明与求体积的问题，解题步骤如下：

（1）利用线面垂直的判定定理来证明；

（2）将体积最终转化为。

易错点

求体积的时候不会转化。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1．

21.求证：AD⊥平面BFED；

22.已知点P在线段EF上，＝2．求三棱锥E－APD的体积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

(1)在梯形中，

∵∥，

∴ ∴

∴∴ ∵平面平面

平面平面，

∴

∴又

∴

考查方向

本题考察了直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，考察了余弦定理，考察了三棱锥的体积计算，

解题思路

该题解题关键在于找到所求内容的突破点

1)根据余弦定理得出BD进而推出

2)由面面垂直得到线面垂直

3)确定PE为体高，进而求出体积

易错点

本题容易在上判断出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：

（2）由（1）知⊥平面

∵ //, ∴且

∴

考查方向

本题考察了直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，考察了余弦定理，考察了三棱锥的体积计算，

解题思路

该题解题关键在于找到所求内容的突破点

1)根据余弦定理得出BD进而推出

2)由面面垂直得到线面垂直

3)确定PE为体高，进而求出体积

易错点

本题容易在上判断出错

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．已知直三棱柱(侧棱垂直于底面)的各顶点都在球O的球面上，且

若三棱柱的体积等于，则球O的体积

为　　　　　.

正确答案

解析

由得h=，外接球的半径2,，所以V=．

考查方向

本题主要考查了空间几何体的外接球的体积。

解题思路

本题利用已知条件找到要求的球的球心位置，进一步求出球的半径，然后利用球的体积公式即可求出。

易错点

本题不会求外接球的半径。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积与球体有关的内切、外接问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，面，

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求四棱锥的体积．

正确答案

（1）见详解；（2）

解析

试题分析：本题属于立体几何证明与体积的计算问题，

（1）由线线到线面再到面面平行

（2）利用椎体的体积公式求解．

考查方向

本题考查了立体几何．

解题思路

本题考查立体几何证明与体积的计算问题，解题步骤如下：

由线线到线面再到面面平行。

利用椎体的体积公式求解。

易错点

第1问面面平行的判定定理不熟练，条件写的不全，第2问不会求高。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面平行的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

24.证明：AB平面PFE.

25.若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

试题分析：先由已知易得，再注意平面平面，且交线为，由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质可得到，再注意到，而，从而有，那么由线面垂的判定定理可得平面，

试题解析：证明：如题（20）图.由知，为等腰中边的中点，故，

又平面平面，平面平面，平面，，

所以平面，从而.

因.

从而与平面内两条相交直线，都垂直，

所以平面.

考查方向

本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了转化思想，属于中档题．.

解题思路

本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系的判定，通过应用面面垂直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直来完成证明.

易错点

线线关系与线面关系的转化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

或.

解析

试题分析：（Ⅱ）设则可用将四棱锥的体积表示出来，由已知其体积等于7，从而得到关于的一个一元方程，解此方程，再注意到即可得到的长．

试题解析：（2）设,则在直角中，

.从而

由，知，得,故，

即.

由,,

从而四边形DFBC的面积为

由（1）知，PE 平面，所以PE为四棱锥P-DFBC的高.

在直角中，,

体积,

故得，解得，由于，可得.

所以或.

考查方向

本题主要考查了棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．.

解题思路

本题考查简单几何体的体积的运算，通过设元，将已知几何体的体积表示出来，建立方程，通过解方程完成解答..

易错点

注意方程思想在解题过程中的应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面是矩形，平面底面，为等边三角形，则球面的表面积为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意可得直观图如图所示，

因为为等边三角形，所以G为的中心，且,F为AD的中点，所以,所以,所以球的半径为，所以球的表面积为，所以应选D选项。

考查方向

本题主要考查了球与四棱锥的组合体问题，以及空间的想象能力，以及立体几何的计算问题怎样转化为平面几何.

解题思路

1)由已知条件画出草图；

2)找到球心的位置，以及构造直角三角形；

3)在直角三角形中计算球的半径，以及表面积.

易错点

本题由题意画出立体几何的图是一个难点，将立体的计算转化为平面也是难点。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积球的体积和表面积

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，在三棱柱中，是等边三角形，,是中点.

22.求证：平面；

23.当三棱锥体积最大时求点到平面的距离.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(略)

解析

连结，交于，连.在三棱柱中，四边形为平行四边形，则,又是中点，∴，而平面，平面，∴平面.

考查方向

线面平行的位置关系，点到平面的距离，体积桥求距离的应用

解题思路

关键是在面DCB1中找线，连结，交于，可证DO//A1B

易错点

确定“三棱锥体积最大时”的条件

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设点到平面的距离是，则，而，故当三棱锥体积最大时，，即平面.

由（Ⅰ）知：，所以到平面的距离与到平面的距离相等.

∵平面，平面，∴，

∵是等边三角形，是中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∴，由计算得：，所以，设到平面的距离为，由得：，所以到平面的距离是

考查方向

线面平行的位置关系，点到平面的距离，体积桥求距离的应用

解题思路

当三棱锥体积最大时，，即平面，再利用体积桥即可求得点到平面的距离.

易错点

确定“三棱锥体积最大时”的条件

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．

19.证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；

20.若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略；

解析

（Ⅰ）证明：如图，因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.

又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.

又，因此AE⊥平面B1BCC1.

而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.

考查方向

本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积求法。

解题思路

1）第一问通过等边三角形的性质找到AE⊥BC，再由线面垂直的判定得到线面垂直，最后得到面面垂直；

2）第二问先找到直线A1C与平面A1ABB1所成的角，通过线面角求得A1D＝CD＝，进而求得体积。

易错点

证明面面垂直找不到线面垂直的条件，由已知的线面角找不出长度的关系。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（Ⅱ）设AB的中点为D，连接A1D，CD.

因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.

又三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.

又，因此CD⊥平面A1ABB1，

于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．　　　　　　　

由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝.

在Rt△AA1D中，AA1＝

故三棱锥F AEC的体积V＝

考查方向

本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积求法。

解题思路

1）第一问通过等边三角形的性质找到AE⊥BC，再由线面垂直的判定得到线面垂直，最后得到面面垂直；

2）第二问先找到直线A1C与平面A1ABB1所成的角，通过线面角求得A1D＝CD＝，进而求得体积。

易错点

证明面面垂直找不到线面垂直的条件，由已知的线面角找不出长度的关系。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，在三棱柱中，是等边三角形，,是中点.

22.求证：平面；

23.当三棱锥体积最大时求点到平面的距离.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(略)

解析

连结，交于，连.在三棱柱中，四边形为平行四边形，则,又是中点，∴，而平面，平面，∴平面.

考查方向

线面平行的位置关系，点到平面的距离，体积桥求距离的应用

解题思路

关键是在面DCB1中找线，连结，交于，可证DO//A1B

易错点

确定“三棱锥体积最大时”的条件

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设点到平面的距离是，则，而，故当三棱锥体积最大时，，即平面.

由（Ⅰ）知：，所以到平面的距离与到平面的距离相等.

∵平面，平面，∴，

∵是等边三角形，是中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∴，由计算得：，所以，设到平面的距离为，由得：，所以到平面的距离是

考查方向

线面平行的位置关系，点到平面的距离，体积桥求距离的应用

解题思路

当三棱锥体积最大时，，即平面，再利用体积桥即可求得点到平面的距离.

易错点

确定“三棱锥体积最大时”的条件

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正确答案

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易错点

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