立体几何与空间向量_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知向量，

（1）求的最大值和最小值；

（2）若，求k的取值范围。

正确答案

（1）

（2）由

解析

考查向量的数量积运算、向量求摸、换元转换求函数值域问题以及导数在研究函数值域方面的运用；（2）考查向量的遇模平方以及等量转换，函数与方程的思想和解不等式组；整个试题综合性较高，考查的知识较多，运算量较大是一个中等偏上的试题。

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，且，，，分别是，的中点。

（1）求证：MQ//平面；

（2）若，垂足为，求证：。

正确答案

见解析

解析

（1）取的中点，连结，，

因为是的中点，所以，，

又因为是中点，所以，

因为四边形是平行四边形；

所以，所以,

所以四边形是平行四边形，

所以MQ//BE，因为平面，

平面，

所以MQ//平面，

（2）因为平面,平面,

所以，又因为,,

平面，平面，

所以平面，又平面，

所以，

又，，平面，平面，

所以平面，又平面，所以，

又，是中点，所以

又，平面，平面，所以平面，

又平面，所以

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，则 ▲ 。

正确答案

25

解析

由，得，所以；

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图所示，已知ΔBCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，该几何体的侧视图（左视图）的面积为，E，F分别是AC，AD上的动点，且，其中。

（1）求AB的长；

（2）求证：对任意的，总有EF∥CD；

（3）当为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

正确答案

见解析

解析

（1）在ΔBCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，，

取BD的中点为M，连接CM，则CM⊥BD，且，

⊥平面BCD，CD平面BCD，

AB⊥CD，几何体的左视图的面积=，

。 4分

（2）在ΔACD中，E，F分别是AC，AD上的动点，且，

。 8分

（3），AB，BC平面ABC，，∴CD⊥平面ABC，

由（2）EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，∵BE平面ABC，∴EF⊥BE

又∵EF，AC平面ACD，EFAC=E，∴当BE⊥AC时，BE⊥平面ACD，

从而平面BEF⊥平面ACD，在中，

当BE⊥AC时，，

故当时，平面BEF⊥平面ACD。 12分

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数的图象交于A、B两点（A在B的左侧），分别过A、B作y轴的平行线分别与函数的图象交于C、D两点，若BC//x轴，则四边形ABCD的面积为 ▲ 。

正确答案

解析

设，，

则，，

因为BC//x轴，所以，

即，①

又A、B、O三点共线，故，②

由①②得，

故四边形ABCD的面积为。

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

在直三棱柱中, , 为棱上任一点。

（1）求证：直线∥平面；

（2）求证：平面⊥平面.

正确答案

见解析

解析

（1）证明:由直三棱柱,得

而,所以直线∥平面

（2）因为三棱柱为直三棱柱,所以,又,

而,,且,

所以

又,所以平面⊥平面

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设的内角所对的边分别为，已知，，。

（1）求边的长；

（2）求的值。

正确答案

见解析

解析

（1）由，得

因为，，所以

所以，

所以

（2）因为，，

所以

因为，所以，故为锐角，所以，

所以.

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层转动，如图乙，设的对边长为。

（1）试用表示；

（2）求魔方增加的表面积的最大值。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意得，

解得，

（2）魔方增加的表面积为，

由（1）得，

令，

则（当且仅当即时等号成立），

答：当时，魔方增加的表面积最大为，

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为　　。

正确答案

9

解析

解：根据题意几何体为正三棱锥，如图，

PD=a；OD=a；OP==。

设棱长为a，则OD+PD=×a+a=a=2⇒a=3，

V棱锥=×a2×a=9，

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，AB，CD均为圆O的直径，CE⊥圆O所在的平面，BF∥CE，求证：

（1）平面BCEF⊥平面ACE；

（2）直线DF∥平面ACE。

正确答案

见解析

解析

证明：（1）因为CE⊥圆O所在的平面，BC⊂圆O所在的平面，

所以CE⊥BC，

因为AB为圆O的直径，点C在圆O上，所以AC⊥BC，

因为AC∩CE=C，AC，CE⊂平面ACE，

所以BC⊥平面ACE，

因为BC⊂平面BCEF，所以平面BCEF⊥平面ACE，

（2）由（1）AC⊥BC，又因为CD为圆O的直径，

所以BD⊥BC，

因为AC，BC，BD在同一平面内，所以AC∥BD，

因为BD⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，所以BD∥平面ACE，

因为BF∥CE，同理可证BF∥平面ACE，

因为BD∩BF=B，BD，BF⊂平面BDF，

所以平面BDF∥平面ACE，

因为DF⊂平面BDF，所以DF∥平面ACE

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知正方形的坐标分别是,,，，动点M满足：，则。

正确答案

解析

设点的坐标为，∵，∴，整理，得（），发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为两点，所以

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知一个几何体的三视图如下，正视图和俯视图两个等腰梯形，长度单位是厘米，那么该几何体的体积是（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由图可知，该几何体是上下底面是正方形，高度是3的四棱台，

根据台体的体积公式

得：

，故选B.

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知E、F分别是正方体棱BB1、AD的中点，则直线EF和平面所成的

角的正弦值是（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解析：设正方体的棱长为2，由于E、F分别是正方体

棱BB1、AD的中点，连接BD，AE，过F作BD交BD于H，则FH⊥，因为,，直线EF和平面所成的

角的正弦值是，故选B.

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点。

（1）求证：//平面；

（2）求证：；

（3）求三棱锥的体积。

正确答案

见解析。

解析

（1）

连结，在中，、分别为，的中点，则

（2）

（3）

且

，

∴

即

=

知识点

空间几何体的结构特征

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知平面向量满足，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .

正确答案

‍

解析

如图所示：，所以

知识点

空间几何体的结构特征

热门试卷

正确答案

解析

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