立体几何与空间向量_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

3．设，则的定义域为________．

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．如图，在四棱锥中，底面是一直角梯形，，//，，底面，与底面成角，点是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

正确答案

解：

解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系，由已知可得：余弦

A（0，0，0）， B（1，0，0），C（1，1，0）,

D（0，2，0）， P（0，0，2）， E（0，1，1），

（2），

,

由

得

令y=1，则n=(1,1,1),

所以，所求二面角的余弦值为.

解析

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知识点

直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD面ABCD，E是PD上一点。

（1）求证：ACBE。

（2）若PD=AD=1，且的余弦值为，求三棱锥E-PBC的体积。

正确答案

解：（1）连接BD 是正方形

又面

面

又BE面PBD；

（2）设，则

又；

中，由余弦定理解为：

解析

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．如图（1），是等腰直角三角形，，、分别为、的中点，将沿折起，使在平面上的射影恰为的中点，得到图（2）．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

正确答案

（1）证明：在中，是等腰直角的中位线，

在四棱锥中，，，

又平面

又平面,

（2）在直角梯形中，

又垂直平分，

∴

解析

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

16．如图，在四棱锥O—ABCD中，AD//BC，AB＝AD＝2BC，OB＝OD，M是OD的中点。

（1）求证：MC//平面OAB；

（2）求证：BD⊥OA。

正确答案

解析

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知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

7.平面α∥平面β且两平面间的距离为，AB和CD是夹在α，β之间的线段，AB⊥CD，AB=2，则CD长度的取值范围为________。

正确答案

[2，+∞)

解析

当AB和CD共面且与平面β垂直时，CD=2

当CD在与AB垂直的平面上又绕C点或D点转动时，CD的长度可以无限大.

知识点

平面与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

18．在棱长为的正方体中,是线段的中点,底面ABCD的中心是F.

（1）求证:；

（2）求证:∥平面；

（3）求三棱锥的体积。

正确答案

解: （1）证明：根据正方体的性质，

因为，所以，又

所以，，所以；

（2）证明：

连接，因为，

所以为平行四边形，因此

由于是线段的中点,所以，

因为面，平面，

所以∥平面

（3）

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，点是的中点，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）试在棱上找一点，使得，并说明理由．

正确答案

（Ⅰ）（略）

（Ⅱ）当为棱中点时，

解析

试题分析：本题属于立体几何中线面关系的位置关系的问题，难度不大，只要熟悉了线面关系中平行与垂直的判定和性质定理，即可完成。

（Ⅰ）连结，交于点，连结．

在中，为中点．

又因为为中点，所以．

因为平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）当为棱中点时，，理由如下：

因为在直三棱柱中，，

所以四边形为正方形．

因为为棱中点，是的中点，易证，

所以，

又因为，

所以，故．

因为是正三角形，是的中点，

所以．

因为平面平面平面平面平面，

所以平面

因为平面所以．

因为，平面，

所以平面，

因为平面，所以．

考查方向

本题主要考查直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．难度一般．

解题思路

本题主要考查直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系，

解题步骤如下：由线线平行推出线面平行；由面面垂直推出线面垂直，从而得出线线垂直。

易错点

第一问在书写时易遗漏平面，平面这些条件，

第二问在线面垂直的转化中易混淆不清。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，底面为菱形，

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若求四棱锥的体积.

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ）

证明：取的中点连接，

底面为菱形，为正三角形，

又为的中点，

侧面为正三角形，为的中点

面，.

（Ⅱ）

由（Ⅰ）面得：面面，作于面;

由侧面为边长等于2的正三角形、为正三角形、为的中点得：,又设的中点为

考查方向

线线垂直、线面垂直、面面垂直

解题思路

作出适当的辅助线，根据线面垂直证明线线垂直

易错点

找垂直条件时找不到

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图所示，三棱锥中，,,两两垂直，,，点为中点.

（Ⅰ）若过点的平面与平面平行，分别与棱,相交于，在图中画出该截面多边形，并说明点的位置（不要求证明）；

（Ⅱ）求点到平面的距离.

正确答案

（Ⅰ）为棱中点

（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）当为棱中点，为棱中点时，平面∥平面.

（Ⅱ）因为，，

所以直线平面，

,

.

又

所以，

设点是的中点，连接，则,

所以，

.

又，而，

设点到平面的距离为，则有，

即，∴，即点到平面的距离为.

考查方向

本题主要考查空间几何中的面面平行的判定以及点面距离的求法。

解题思路

第一问，过O点做AC和CD的平行线即可；第二问用体积相等。在三个直角三角形中分别求出AD、AB、BD，得到三角形ABD为等腰三角形，再作高，求出ABD的面积，再求三棱锥的体积。

易错点

第二问求出的三边长后采用余弦定理求出余弦值，再求正弦值，然后求面积，计算繁琐，导致出错

知识点

平面与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E,F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.

（I）证明：；

(II)若,求五棱锥的D′-ABCFE体积.

正确答案

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18. 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；

（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.

正确答案

（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析.

解析

试题分析：（Ⅰ））根据，知与确定一个平面，连接，得到，，从而平面，证得.

（Ⅱ）设的中点为，连，在，中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面平面，进一步得到平面.

试题解析：（Ⅰ））证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，。

（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面。

考查方向

1.平行关系；2.垂直关系.

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19. 四棱锥平面ABCD，2AD=BC=2a，

（1）若Q为PB的中点，求证：；

（2）若，M为BC中点，试在PC上找一点N，使PA//平面DMN；

正确答案

详细答案见解析.

解析

试题分析：本题属于三角函数的图像与性质及正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关函数的知识，即可解决本题，解析如下：

证明（1）连结,中,

由余弦理:,

解得

所以为直角三角形，因为，

所以又因为平面

所以因为

所以平面平面

所以，平面平面又因为，为中点

所以因为平面平面

所以平面平面

所以

（2）当为中点时，平面;

证明：连结，

设先证明为平行四边形，

由中点得可证明平面

考查方向

本题考查了线面平行、垂直，余弦定理的相关知识点。

易错点

证明线面垂直时由于不熟悉定理容易证错。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

16．在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．

（1）求证：AC⊥PB；

（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。

正确答案

见解析

解析

（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，

又∠CBA＝30°，BC＝2，AB＝4，

∴AC＝

＝，

∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，

故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，

故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．

（2） BM=2

考查方向

本题考查了立体几何中垂直关系的证明

解题思路

（1）由余弦定理求AC

（2）由勾股逆定理得∠ACB＝90°

（3）AC⊥BC，PC⊥AC，AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB

易错点

证明过程不到位。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19.如图，在三棱锥中，底面，，且，点是的中点，且交于点.

（1）求证：平面；

（2）当时，求三棱锥的体积.

正确答案

（2）

解析

（1）证明：底面，，又易知，

平面，，

又，是的中点，，

平面，，

又已知，

平面；

（2）平面，平面，

而，，，

又，，

又平面，，

而，，

，

.

考查方向

本题主要考查了棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．

解题思路

（1）利用面面垂直的判定定理证明平面SAC⊥平面AMN．

（2）利用VS-ACM=VD-ACM=VM-DAC，即可求三棱锥S-ACM的体积．

易错点

（1）利用线面垂直条件证明，注意要垂直两条相交直线

（2）利用等体积法求

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质

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正确答案

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考查方向

解题思路

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考查方向

解题思路

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易错点

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考查方向

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易错点

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考查方向

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