- 立体几何与空间向量
- 共2637题
16.(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且
求证：
（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
正确答案
知识点
9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3.
正确答案
80 ；40．
知识点
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=½AD。
（I） 在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。
正确答案
（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：
因为AD‖BC,BC=
所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.
又AB
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
（II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD,
因为AD∥BC,BC=
所以PA ⊥平面ABCD.
从而PA ⊥ BD.
因为AD∥BC,BC=
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD=
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD
所以平面PAB⊥平面PBD.
知识点
19.
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（I）证明MN∥平面PAB;
（II）求四面体N-BCM的体积.
正确答案
（Ⅰ）由已知得
又
因为
（Ⅱ）因为
所以
取
由
所以四面体
知识点
18．如图，在四棱锥
（I）求证：平面
（II）求三棱锥
正确答案
（1）见解析；
（2）
解析
本题属于立体几何应用中的基本问题，题目的难度不大，用到一些平面几何的知识。
（1）化为求线面垂直
（2）转变思想，换个角度看问题。
（I）连接BQ，因为ABCD是直角梯形，AD∥BC,AD=2BC,Q为AD的中点，
所以BCDQ为平行四边形，又因为CD=
因为ΔPAD是边长为2的正三角形，Q是AD的中点，
所以PQ⊥AD,PQ=
在ΔPQB中，QB=
因为AD∩BQ=Q,AD、BQ
所以PQ⊥平面ABCD．
因为PQ
(II)由（I）知：PQ⊥平面ABCD，PQ=
因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,∠ADC=
所以ΔBCD是直角三角形，其中∠BCD=
因为BC=1,CD=
考查方向
本题考查了空间面面垂直、求椎体体积等知识，全面考查了学生阅读能力、空间想象能力与分析问题解决问题的能力，属于中档题，立体几何也是高考的必考内容，常与平几知识相结合，也有的会需要建立空间坐标系，结合空间向量的知识解决。
易错点
第二问求三棱锥的体积，如果不知道转化，则无法求出．
知识点
18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱
（Ⅰ）证明：平面
（Ⅱ）求正四棱锥
正确答案
略
解析
（Ⅰ）证明：直三棱柱
（Ⅱ）
考查方向
本题考查了立体几何中的面面垂直的证明和正四棱锥的体积问题，
解题思路
本题第一问证明面面垂直，只要证明线面垂直即可；第二问把两个几何体的体积求出来，由两个几何体的体积关系直接求出高就行了。
易错点
1、解题 的规范化问题，2、第二问中不能正确的求出所需几何体的体积。
知识点
19.已知在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，若SB丄AC，SA = SC.
（1）求证:平面SBD丄平面
（2）若 AB = 2，SB = 3，cos∠SCB=
正确答案
如图所示
（1）设AC∩BD=O,
连接SO
因为SA=SC，
所以SO∩SB=S,所以AC⊥平面SBD,
因为AC在平面ABCD内，
所以平面SBD⊥平面ABCD
（2）作SH⊥平面ABCD,即
由（1）知，AC⊥BD,
所以底面ABCD是菱形，
所以BC=AB=2
因为SB=3,cos∠SCB=1/8
所以由余弦定理可得，
SC=2,所以∠SAC=60°，
所以SAC是等边三角形
所以在Rt△SOH中，SH=SO*sin60°=3/2
所以
解析
证AC垂直于面ABCD,
设AC交BD于0,
因为SA=SC，
SO交SB于S,
所以AC垂直于平面SBD,
因为AC在平面ABCD内，
所以面SBD垂直于面ABCD.求底面面积时，
先用余弦定理求出角SOB=120度，角SOH=60度，
所以四棱锥的体积为
考查方向
立体几何中的相关计算和证明
解题思路
通过线线垂直得到线面垂直，进而得到面面垂直，找清四棱锥的底面和高，利用公式求解。
易错点
面面垂直概念混淆，立体感不强
知识点
16. 多面体ABCDEF(如图甲)的俯视图如图乙，己知面ADE为正三角形．
（1）求多面体ABCDEF的体积；
（2）求证：平面ACF⊥平面BDF．
正确答案
（1）
（2）略．
解析
试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．
(1)分别取AB、CD的中点M、N，连接EM、EN、MN，多面体体积转化为棱柱AED-MFN的体积V1与四棱锥F-MBCN的体积V2之和。
由三视图可知，AD=2，AM=DN=1，面ADE为正三角形且垂直于底面ABCD，知F点到底面的距离为
考查方向
本题考查了立体几何中的体积和面面垂直的问题．属于高考中的高频考点。
解题思路
本题考查立体几何中的体积和面面垂直的问题，解题步骤如下：
（1）做辅助线，拆分多面体。
（2）转化为证明线面垂直。
易错点
（1）第一问中的多面体的拆分。
（2）第二问中的面面垂直的转化。。
知识点
19．如图,四棱柱
（Ⅰ）证明:平面
（Ⅱ）若
正确答案
见解析
解析
试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．
试题解析：（Ⅰ）依题意
∵
（Ⅱ）取
∴四边形
可得
即异面直线
考查方向
本题考查了立体几何中的面面垂直和异面直线所成的角的问题．属于高考中的高频考点。
解题思路
本题考查立体几何，解题步骤如下：
（1）转化为证明线面垂直。
（2）找到三角形，利用余弦定理求解。
易错点
（1）第一问中的面面垂直的转化。（2）第二问中异面直线所成的角求解时要找到适当的三角形。
知识点
正确答案
知识点
7．若
正确答案
解析
若
考查方向
解题思路
利用直线与平面平行于垂直的关系，结合充分条件和必要条件性质，判断关系。
易错点
逻辑混乱，直线与平面的位置关系掌握不牢
知识点
如图，在直三棱柱
且
17．直线
18.平面
正确答案
又
解析
又
考查方向
解题思路
易错点
判定定理的选用，线面关系的转化
正确答案
且
又
又
又
解析
且
又
又
又
考查方向
解题思路
易错点
判定定理的选用，线面关系的转化
7.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
正确答案
解析
由题意可知是上面是圆锥下面是圆柱的组合体，圆柱的侧面积为
考查方向
解题思路
以三视图为载体考查几何体的还原及表面积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后分步对各部分表面积求解．
易错点
圆锥的侧面积公式，底面积的个数易错。
知识点
16．如图，已知直三棱柱
（1）求证：
（2）求证：平面
正确答案
详见解析
解析
试题分析：本题是空间中平行与垂直的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，证明的关键是按照线面平行、面面垂直的判定，找到使定理成立的条件，所以空间中的读图能力，熟练把握空间中垂直关系的判定与性质是解题的突破口。
证明：（1）在
所以
又
（2）因为
又
所以
而
又
所以
又
考查方向
解题思路
本题考查空间中平行与垂直的证明
1、证明线面平行时，关键是设法在平面内找到一条直线与已知直线平行。
2、证明面面垂直本质是转化为证线面垂直，关键是在证线面垂直时，找到两条线是相交直线与已知直线垂直，同时熟练把握空间中垂直关系的判定与性质。
易错点
1、第一问中的易忽视线面平行中线在面外。
2、第二问中证明面面垂直本质是转化为证线面垂直，不要忽视证线面垂直时，两条线是相交直线，同时熟练把握空间中垂直关系的判定与性质。
知识点
6．某四面体的三视图均为直角三角形，如图所示，则该四面体的表面积为（ ）
A72+24
B96+24
C126
D64
正确答案
解析
将三视图还原为直方图如图所示，
这时底面积为
考查方向
解题思路
将三视图还原为直方图如图所示，利用已知条件可求得。
易错点
还原直观图出现问题。
知识点
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