立体几何与空间向量_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19.

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（I）证明MN∥平面PAB;

（II）求四面体N-BCM的体积.

正确答案

知识点

直线、平面垂直的综合应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图,已知平面ABC, AB=AC=3,,, 点E,F分别是BC, 的中点.

19.求证:EF∥平面 ;

20.求证:平面平面.

21.求直线与平面所成角的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

要证明EF∥平面, 只需证明EF||BA1 且EF 平面

证明:如图,连接,在△中,因为E和F分别是BC, 的中点,所以EF||BA1 ,又因为EF 平面, 所以EF∥平面.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查空间中线面位置关系的证明 ,考查空间想象能力及推理论证能力.

易错点

线面关系与面面关系的转化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

要证明平面平面,可证明,.

因为AB=AC,E为BC中点,所以,因为平面ABC,BB1||AA1所以平面ABC,从而,又 ,所以平面 ,又因为平面,所以平面平面.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查空间面面位置关系,考查空间想象能力及推理论证能力.

易错点

线面垂直于面面垂直的转化.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

取中点N,连接 ,则就是直线与平面所成角,Rt△ 中,由得直线与平面所成角为.

取中点M和中点N,连接,NE因为N和E分别为,BC中点,所以NE||BB1 ,,故NE||AA1 ,,所以A1N||AE ,,又因为平面,所以平面 ,从而就是直线与平面所成角,在△中,可得AE=2,所以=2,因为BM||AA1，BM=AA1 ,所以A1M||AB,A1M=AB 又由,有 ,在Rt△ 中,可得,在Rt△中,因此,所以,直线与平面所成角为.

考查方向

本题主要考查空间中线面位置关系的证明,直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力及推理论证能力.

易错点

线面角定义的灵活运用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·=4，，则的值是 .

正确答案

知识点

直线、平面垂直的综合应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·=4，，则的值是 .

正确答案

知识点

直线、平面垂直的综合应用

1

题型：填空题

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填空题 · 12 分

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=½AD。

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。

正确答案

（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：

因为AD‖BC,BC=AD，所以BC‖AM, 且BC=AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.

又AB 平面PAB,CM 平面PAB,

所以CM∥平面PAB.

(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)

（II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD,

因为AD∥BC,BC=AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA ⊥平面ABCD.

从而PA ⊥ BD.

因为AD∥BC,BC=AD，

所以BC∥MD,且BC=MD.

所以四边形BCDM是平行四边形.

所以BM=CD=AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.

又BD 平面PBD,

所以平面PAB⊥平面PBD.

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的综合应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,,，，则m，n所成角的正弦值为（）

A

B

C

D

正确答案

A

知识点

直线与直线平行的判定与性质直线、平面垂直的综合应用线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且，.

求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

正确答案

(1)为中点，为的中位线

又为棱柱，

，又平面，且

平面；

⑵ 为直棱柱，平面

，又

且，平面

平面，

又，平面

又平面，

又，，且平面

平面，又

平面平面．

知识点

平行关系的综合应用直线、平面垂直的综合应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.已知函数F(x)=ex满足F(x)=g(x)+h(x)，且g(x)和h(x)分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈[1,2]使得不等式g(2x)-ah(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）

A(-∞, ]

B(-∞,2]

C[- ,]

D[-2,2]

正确答案

B

解析

由F(x)=g(x)+h(x)=ex,得F(-x)=g(-x)+h(-x)=e-x

即F(-x)=g(x)-h(x)=e-x

解得g(x)= ,h(x)= .

∀x∈[1,2],g(2x)-ah(x)≥0恒成立,即得-a≥0,

分离参数得a≤==ex-e-x+,

因为ex-e-x+≥2 (当且仅当ex-e-x=,

即ex-e-x=时取等号,x的解满足[1,2])，所以a≤2.

知识点

直线、平面垂直的综合应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，BC=2，D是BC的中点，F是C1C上一点．

（1）当CF=2，求证：B1F⊥平面ADF；

（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．

正确答案

（1）见证明；（2）

解析

试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，

∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B．

∵BC∩B1B=B，∴AD⊥平面B1BCC1．

∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．

在矩形B1BCC1中，∵C1F=CD=1，B1C1=CF=2，

∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．

∴∠CFD=∠C1B1F．∴∠B1FD=90°，∴B1F⊥FD．

∵AD∩FD=D，∴B1F⊥平面ADF．

（2）解：∵AD⊥面B1DF，，

又，CD=1，

∵FD⊥B1D，∴Rt△CDF∽Rt△BB1D，∴．

∴

∴．

考查方向

本题考查了线面垂直、椎体的体积公式等知识点。

解题思路

（1）利用相关定理进行证明；

（2）利用等体积法即可求解．

易错点

知识点

直线、平面垂直的综合应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．如图，在三棱柱中，已知，，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求点到平面的距离.

正确答案

（1）略;

（2）；

【发呢之】12

解析

试题分析：本题第（1）问属于空间线面垂直关系的判定，是基础知识，难度中等；第（2）问是空间距离的问题，可以用等体积法进行解答。解答过程如下：

（Ⅰ）因为, 侧面，故,

在中,

由余弦定理得：

，

所以，故,所以,而

，平面

（Ⅱ）

考查方向

本题考查了空间点、线、面的位置关系，同时考查了空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

1、第（1）问根据线面垂直的性质定理可证，在平面ABC中寻找两条与C1B垂直的直线即可；

2、第（2）问可以通过把求距离的问题转化为求高的问题，用等体积法进行解答。

易错点

在解决第二问时不能很好地对图形进行转化而导致失误。

知识点

直线、平面垂直的综合应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.

19.证明：平面；

20.当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）略.

解析

试题分析：（Ⅰ）在图1中，因为，是的中点，，所以四边形是正方形，故，又在图2中，，从而平面，又且，所以，即可证得平面；

（Ⅰ）在图1中，因为，是的中点，所以，

即在图2中，

从而平面

又

所以平面.

考查方向

本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．

解题思路

在处理有关空间中的线面平行.线面垂直等问题时，常常借助于相关的判定定理来解题，同时注意恰当的将问题进行转化

易错点

线线关系与线面关系的转换

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ） .

解析

试题分析：（Ⅱ）由已知，平面平面，且平面平面，又由（Ⅰ）知，，所以平面，即是四棱锥的高，易求得平行四边形面积，从而四棱锥的为，由，得.

（Ⅱ）由已知，平面平面，

且平面平面

又由（Ⅰ）知，，所以平面，

即是四棱锥的高，

由图1可知，，平行四边形面积，

从而四棱锥的为

，

由，得.

考查方向

本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．

解题思路

2.求几何体的体积的方法主要有公式法.割补法.等价转化法等，本题是求四棱锥的体积，可以接使用公式法.

易错点

体积的计算

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，

，，．

21.证明：平面；

22.证明：；

23.求点到平面的距离．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）证明见解析；

解析

（1）因为四边形是长方形，所以，因为平面，平面，所以平面

考查方向

本题考察了空间中的平行和垂直关系以及点到平面的距离.

解题思路

（1）由四边形是长方形可证，进而可证平面；（2）先证，再证平面，进而可证；（3）取的中点，连结和，先证平面，再设点到平面的距离为，利用可得的值，进而可得点到平面的距离．

易错点

定理的条件不完整，书写格式不规范。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）证明见解析；

解析

（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以

考查方向

本题考察了空间中的平行和垂直关系以及点到平面的距离.

解题思路

（1）由四边形是长方形可证，进而可证平面；（2）先证，再证平面，进而可证；（3）取的中点，连结和，先证平面，再设点到平面的距离为，利用可得的值，进而可得点到平面的距离．

易错点

定理的条件不完整，书写格式不规范。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）．

解析

（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，

，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是

考查方向

本题考察了空间中的平行和垂直关系以及点到平面的距离.

解题思路

（1）由四边形是长方形可证，进而可证平面；（2）先证，再证平面，进而可证；（3）取的中点，连结和，先证平面，再设点到平面的距离为，利用可得的值，进而可得点到平面的距离．

易错点

定理的条件不完整，书写格式不规范。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点．

22.求证：；

23.求点到平面的距离

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略；

解析

（1）：取中点，连结，依题意可知均为正三角形，所以，又平面平面，所以平面，又平面，所以．

考查方向

本题主要考查空间线面位置关系及点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

先证明平面，后即可证明所证。

易错点

不会做辅助线导致没有思路；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）点到平面的距离即点到平面的距离，由（1）可知，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，即为三棱锥的体高．在中，，在中，边上的高，所以的面积，设点到平面的距离为，由得，，又，，解得，所以点到平面的距离为

考查方向

本题主要考查空间线面位置关系及点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

先发现点到平面的距离即点到平面的距离，然后利用等体积法求解即可。

易错点

看不出点到平面的距离即点到平面的距离导致没有思路或运算错误。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（Ⅰ）若E为BD的中点，求证：

正确答案

（1）见解析；（2）

解析

试题分析：本题属于立体几何的证明与体积的计算问题，

（1）由已知条件然后结合线面平行的判定定理来证明；

（2）将底面换了之后再来计算其体积。

（1）证明：取的中点，连接，则且

又且，且，四边形是平行四边形

…………(6分)

（2）在平面图形，连接，易证是等腰直角三角形，

，

…………(12分)

考查方向

本题考查了立体几何的证明与体积的计算问题。

解题思路

本题考查立体几何的证明与体积的计算问题，解题步骤如下：

（1）由已知条件然后结合线面平行的判定定理来证明；

（2）将底面换了之后再来计算其体积。

易错点

不会换底去计算体积。

知识点

平面与平面平行的判定与性质直线、平面垂直的综合应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且，（）

A若l⊥β，则α⊥β

B若α⊥β，则l⊥m

C若l∥β，则α∥β

D若α∥β，则l∥m

正确答案

A

解析

试题分析：根据线面垂直，线面平行，面面平行的关系逐个进行判断。

对于A，∵l⊥，且l，根据线面垂直的判定定理，得⊥，∴A正确；

对于B，当⊥，l，mβ时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；

对于C，当l∥，且l时，与可能平行，也可能相交，∴C错误；

对于D，当∥，且l，m时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误

考查方向

本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题和数学符号语言的应用问题，本题属于基础题．

解题思路

A根据线面垂直的判定定理得出A正确；B根据面面垂直的性

质判断B错误C根据面面平行的判断定理得出C错误；D根据面面平行的性质判断D错误．

易错点

要考虑到空间直线，平面可能出现的各种关系.

知识点

平行关系的综合应用直线、平面垂直的综合应用

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正确答案

知识点

正确答案

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考查方向

易错点

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考查方向

易错点

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易错点

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知识点

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易错点

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易错点