立体几何与空间向量_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。

（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；

（2）若，，PB与底面ABC成60°角，分别是与的中点，是线段上任意一动点（可与端点重合），求多面体的体积。

正确答案

解析

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知识点

组合几何体的面积、体积问题直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．如图，已知长方体的各顶点都在同一球面上，且,则这个球的体积为．

正确答案

解析

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知识点

线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图所示，四边形ABCD是矩形，，F为CE上的点，且BF平面ACE，AC与BD交于点G

（1）求证：AE平面BCE；

（2）求证：AE//平面BFD；

（3）求三棱锥C-BGF的体积。

正确答案

（1）∵ 又知四边形ABCD是矩形，故AD//BC

∴ 故可知

∵ BF平面ACE ∴ BF AE

又

∴ AE平面BCE

（2）依题意，易知G为AC的中点

又∵ BF平面ACE 所以可知 BFEC，又BE＝EC

∴ 可知F为CE的中点

故可知 GF//AE

又可知

∴ AE//平面BFD

（3）由（1）可知AE平面BCE，又AE//GF

∴ GF平面BCE

又所以GF的长为三棱锥G－BCF的高 GF＝.

∴

∴ 三棱锥C-BGF的体积为

解析

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知识点

线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1

（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；

（2）求多面体ABCDE的体积；

（3）求直线EC与平面ABED所成角的正弦值。

正确答案

（1）

如图，由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB//ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，

连接FH，则，∴，

∴四边形ABFH是平行四边形，

∴，

由平面ACD内，平面ACD，

平面ACD

（2）取AD中点G，连接CG．

AB平面ACD，

∴CGAB

又CGAD

∴CG平面ABED，即CG为四棱锥的高， CG=

∴=2=．

（3）连接EG，由（2）有CG平面ABED，

∴即为直线CE与平面ABED所成的角，

设为，则在中，

有．

解析

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知识点

组合几何体的面积、体积问题直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

19．如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点．

（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．

正确答案

解析

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知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图，在直三棱柱中，,

（1）证明：;

（2）求直线与平面所成角的正切值。

（3）求点A到平面的距离。

正确答案

解析

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知识点

直线与直线垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=CA=，AD=CD=AA1=1，平面AA1C1C⊥平面ABCD，E为线段BC的中点，

（Ⅰ）求证：BD⊥AA1；

（Ⅱ）求证：A1E∥平面DCC1D1

（Ⅲ）若AA1⊥AC，求A1E与面ACC1A1所成角大小．

正确答案

（Ⅰ）证明：在四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中，

∵AB=BC=CA，且AD=DC，

取AC中点O，则BO⊥AC，DO⊥AC，∴B，O，D三点在一条直线上．

又∵面AA1C1C⊥面ABCD，面AA1C1C∩面ABCD=AC，BD⊂面ABCD，BD⊥AC，

∴BD⊥面AA1C1C，AA1⊂面AA1C1C，∴BD⊥AA1；

（Ⅱ）证明：连AE，在Rt△DCO中∠DCO=30°

在正△BCA中，∠BCO=60°，∴DC⊥BC，

又在正△BCA中，AE⊥BC，

∴AE∥DC，

又AE⊄面DCC1D1，DC⊂面DCC1D1，∴AE∥面DCC1D1，

在四棱锥中，AA1∥DD1，AA1⊄面DCC1D1，DD1⊂面DCC1D1，

∴AA1∥面DCC1D1，

又AA1∩AE=A，

∴面A1AE∥面DCC1D1，

又A1E⊂面AA1E，故A1E∥面DCC1D1．

（Ⅲ）解：过E作AC的垂线，设垂足为N，∵面ABCD⊥面AA1C1C，∴EN⊥面AA1C1C，

连A1N，则A1N为A1E在面AA1C1C内的射影，

∴∠EA1N为直线A1E与面AC1所成角，

由已知得：，∴．

解析

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知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

16．已知平面，，直线，若，，则（）

A垂直于平面的平面一定平行于平面

B垂直于直线的直线一定垂直于平面

C垂直于平面的平面一定平行于直线

D垂直于直线的平面一定与平面，都垂直

正确答案

D

解析

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知识点

线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．一个四棱锥的底面是边长为的正方形，且。

（1）求证:平面；

（2）若为四棱锥中最长的侧棱，点为的中点。求直线SE与平面SAC所成角的正弦值。

正确答案

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知识点

线面角和二面角的求法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

2．曲线在点处的切线为（）

Ay=x+1

By=x

Cy=ex+1

D

正确答案

A

解析

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知识点

线面角和二面角的求法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．如图，在等腰梯形中，分别是底边的中点，把四边形沿直线折成直二面角，若点平面，设与平面所成的角分别为（均不为0．若，则点的轨迹为（）

A直线

B圆

C椭圆

D抛物线

正确答案

B

解析

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知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．如图，在四棱锥中，底面是一直角梯形，，//，，底面，与底面成角，点是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

正确答案

解：

解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系，由已知可得：余弦

A（0，0，0）， B（1，0，0），C（1，1，0）,

D（0，2，0）， P（0，0，2）， E（0，1，1），

（2），

,

由

得

令y=1，则n=(1,1,1),

所以，所求二面角的余弦值为.

解析

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知识点

直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．在长方体中，．若分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

如图，过作联结，则即为所求的角

为直角三角形，设则，，所以

，

知识点

棱柱的结构特征线面角和二面角的求法

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．关于正四棱锥,给出下列命题:

①异面直线所成的角为直角；

②侧面为锐角三角形；

③侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角；

④相邻两侧面所成的二面角为钝角；

其中正确的命题序号是___________。

正确答案

解析

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知识点

命题的真假判断与应用棱锥的结构特征异面直线及其所成的角线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，F为PC上一点，四边形BCDE为矩形，∠PAD＝60°，PB＝2√3，PA＝ED＝2AE＝2．（1）若 =λ（λ∈R），且PA∥平面，求λ的值；（2）求证：平面；(3)求直线PB与平面ABCD所成的角．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

（1）连接交于点，连接.

因为平面，平面平面，

所以.

因为，所以.

所以.

（2）因为

所以.

又平面平面，且平面平面,

平面．

（3）由（2）知，平面

∴　∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角，

在RtΔPEB中，

，

60°，

直线PB与平面ABCD所成的角为60°．

考查方向

本题考查了立体几何中的线面位置关系的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查立体几何中的线面位置关系，解题步骤如下：1、利用线面平行的性质定理。2、利用线面垂直的定义及判定定理转化。

易错点

1、第一问中的线线平行的判定。2、第二问中求证线面垂直时要与平面内的两条相交直线垂直。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

热门试卷

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

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正确答案

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正确答案

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点