热门试卷

（本题（18分），第一小题（4分），第二小题（6分），第三小题8分）

解：（1）n=1时，T1=S12⇒a13=a12⇒a1=1（a1=0舍去）…（1分）

n=2时，T2=S22⇒a13+a23=（a1+a2）2⇒1+a23=（1+a2）2⇒a2=2或a2=-1（a2=0舍去）…（2分）

n=3时，，

当a2=2时，⇒a3=3或a3=-2（a3=0舍去）

当a2=-1时，…（3分）

所以符合要求的数列有：1，2，3；1，2，-2；1，-1，1…（4分）

（2）∵an=n，即证13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，…（5分）

用数学归纳法证：

当n=1时，13=12，等式成立；

假设当n=k时，13+23+33+…+k3=（1+2+3+…+k）2=，…（7分）

则当n=k+1时，13+23+33+…+k3+（k+1）3=（1+2+3+…+k）2+（k+1）3

=+（k+1）3=（）2（k2+4k+4）

==，即当n=k+1时，等式也成立；

综上所述，对任意n∈N*，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2；…（10分）

（3）=++…+①

=++…++②

②-①得：2Sn+an+1=，

∴2Sn=-an+1；③…（11分）

∴当n≥2时，2Sn-1=-an，④…（12分）

③-④得：2an=-an+1-+an，

整理得：（an+1+an）（an+1-an-1）=0，

∴an+1=-an，或an+1=an+1（n≥2）…（14分）

（i）an=；

（ii）an=；

（iii）an=；

（v）an=

证明：（1）当n=2时，左边==，右边=，左边＜右边，成立；

（2）假设当n=k（k∈N*，k≥2）时，不等式++…+＜都成立．

则当n=k+1时，左边=++…++＜+＜+===右边．

∴当n=k+1时，不等式成立．

综上可得：对于任意大于1的正整数n，不等式++…+＜都成立．

解：（1）∵f（n）=1•22+2•32+…n（n+1）2，

∴f（1）=1•22=4，

f（2）=1•22+2•32=22，

f（3）1•22+2•32+3•42=70；

（2）假设存在常数a，b，c使得f（n）=对一切自然数n都成立，

则f（1）=（a+b+c）=4，

∴a+b+c=24①，

同理，由f（2）=22得4a+2b+c=44②，

由f（3）=70得9a+3b+c=70③

联立①②③，解得a=3，b=11，c=10．

∴f（n）=（3n2+11n+10）．

证明：1°当n=1时，显然成立；

2°假设n=k时，f（k）=（3k2+11k+10）=，

则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+（k+1）[（k+1）+1]2=+（k+1）[（k+1）+1]2=（3k2+17k+24）

=

=，

即n=k+1时，结论也成立．

综合1°，2°知，存在常数a=3，b=11，c=10使得f（n）=（3n2+11n+10）对一切自然数n都成立．

解：（Ⅰ）由已知，，又a1=2，则a2=2-

a3=2-，a4=2-，由此可猜想：

证明：（1）当n=1时，，所以猜想正确．

（2）假设当n=k（k≥1，k∈Z）时，猜想成立，即

则=，即当n=k+1时也成立．

结合（1）（2）可知，数列{an}的递推公式是

（Ⅱ）假设，且，因为an，ak＞0

则1+an＞2an，且1+ak＞2an，两式相加得，（1+an）+（1+ak）≥2an+2ak，即an+ak≤2

因为＞1，则：ak+an＞2，矛盾．

所以假设不成立，即：与中至少有一个小于2．