- 数学归纳法
- 共1204题
设数列{an}满足an+1=a
（Ⅰ）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式（不需要证明）；
（Ⅱ）当a1≥3时，用数学归纳法证明：an≥n+2；
（Ⅲ）当a1=3时，求证：
正确答案
（Ⅰ）解：由a1=2，得a2=a12-a1+1=3；
由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4；
由a3=4，得a4=a32-3a3+1=5；
由此猜想an的一个通项公式：an=n+1…4分
（Ⅱ）证明：①当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立…6分
②假设当n=k时结论成立，即ak≥k+2，则ak+1+1=ak（ak-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1≥k+3=（k+1）+2，
即n=k+1时，结论也成立．
由①和②可知，an≥n+2…10分
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，an+1=an（an-n）+1≥2an+1，
即an+1+1≥2（an+1），于是
所以
∴
解析
（Ⅰ）解：由a1=2，得a2=a12-a1+1=3；
由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4；
由a3=4，得a4=a32-3a3+1=5；
由此猜想an的一个通项公式：an=n+1…4分
（Ⅱ）证明：①当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立…6分
②假设当n=k时结论成立，即ak≥k+2，则ak+1+1=ak（ak-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1≥k+3=（k+1）+2，
即n=k+1时，结论也成立．
由①和②可知，an≥n+2…10分
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，an+1=an（an-n）+1≥2an+1，
即an+1+1≥2（an+1），于是
所以
∴
由下列不等式：1＞
正确答案
解：根据给出的几个不等式不等式：1＞
即一般不等式为：1+
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，1＞
②假设n=k时猜想成立，即不等式：1+
则n=k+1时，1+
＞
即当n=k+1时，猜想也成立，
所以对任意的n∈N+，不等式成立．
解析
解：根据给出的几个不等式不等式：1＞
即一般不等式为：1+
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，1＞
②假设n=k时猜想成立，即不等式：1+
则n=k+1时，1+
＞
即当n=k+1时，猜想也成立，
所以对任意的n∈N+，不等式成立．
用数学归纳法证明：1+2+22+23+…+2n+1=2n+2-1，在验证n=1时，左端计算所得的项为（ ）
正确答案
解析
解：用数学归纳法证明：1+2+22+23+…+2n+1=2n+2-1，
在验证n=1时，右端=21+2-1=7．
左端计算所得的项为1+2+22=7．
故选：C．
已知数列{an}满足条件（n-1）an+1=（n+1）（an-1）且a1=1，a2=6，设bn=an+n，求{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：当n=1时，a1=1，且a2=6
当n=2时，a3=3（a2-1）=15，
当n=3时，2a4=4（a3-1），∴a4=28，
猜测
下面用数学归纳法证明：
ⅰ当n=1时，等式b1=a1+1=2，b1=2，成立，
ⅱ假设当n=k时，
则由（k-1）ak+1=（k+1）（ak-1），
有ak+1=
即n=k+1时，等式也成立
综上，bn=2n2．对一切大于0的自然数都成立．
解析
解：当n=1时，a1=1，且a2=6
当n=2时，a3=3（a2-1）=15，
当n=3时，2a4=4（a3-1），∴a4=28，
猜测
下面用数学归纳法证明：
ⅰ当n=1时，等式b1=a1+1=2，b1=2，成立，
ⅱ假设当n=k时，
则由（k-1）ak+1=（k+1）（ak-1），
有ak+1=
即n=k+1时，等式也成立
综上，bn=2n2．对一切大于0的自然数都成立．
设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{an}：a1是自然数，an=f（an-1）（n∈N*，n≥2）．
（Ⅰ）求f（99），f（2014）；
（Ⅱ）若a1≥100，求证：a1＞a2；
（Ⅲ）当a1＜1000时，求证：存在m∈N*，使得a3m=a2m．
正确答案
（Ⅰ）解：f（99）=92+92=162；f（2014）=22+02+12+42=21． …（5分）
（Ⅱ）证明：假设a1是一个n位数（n≥3），
那么可以设
其中0≤bi≤9且bi∈N（1≤i≤n），且bn≠0．
由a2=f（a1）可得，
因为bn≠0，所以（10n-1-bn）bn≥99．
而（b1-1）b1≤72，
所以a1-a2＞0，即a1＞a2． …（9分）
（Ⅲ）证明：由a1＜1000，即a1≤999，可知
同理an≤999，可知
由数学归纳法知，对任意n∈N*，有an≤999．
即对任意n∈N*，有an∈{1，2，3，…，999}．
因此，存在p，q∈N*（p＜q），有ap=aq．
则ap+1=aq+1，ap+2=aq+2，…，aq-1=aq+q-p-1，
可得对任意n∈N*，n≥p，有an+q-p=an．
设q-p=T，即对任意n≥p，有an+T=an．
若T≥p，取m=T，n=2m，则有a3m=a2m．
若T＜p，由an+T=an，可得an+pT=an，
取m=pT，n=2m，则有a3m=a2m． …（14分）
解析
（Ⅰ）解：f（99）=92+92=162；f（2014）=22+02+12+42=21． …（5分）
（Ⅱ）证明：假设a1是一个n位数（n≥3），
那么可以设
其中0≤bi≤9且bi∈N（1≤i≤n），且bn≠0．
由a2=f（a1）可得，
因为bn≠0，所以（10n-1-bn）bn≥99．
而（b1-1）b1≤72，
所以a1-a2＞0，即a1＞a2． …（9分）
（Ⅲ）证明：由a1＜1000，即a1≤999，可知
同理an≤999，可知
由数学归纳法知，对任意n∈N*，有an≤999．
即对任意n∈N*，有an∈{1，2，3，…，999}．
因此，存在p，q∈N*（p＜q），有ap=aq．
则ap+1=aq+1，ap+2=aq+2，…，aq-1=aq+q-p-1，
可得对任意n∈N*，n≥p，有an+q-p=an．
设q-p=T，即对任意n≥p，有an+T=an．
若T≥p，取m=T，n=2m，则有a3m=a2m．
若T＜p，由an+T=an，可得an+pT=an，
取m=pT，n=2m，则有a3m=a2m． …（14分）
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