热门试卷

证明：设f（n）=1•（n+1）+2•n+3•（n-1）+…+（n+1）•1．

（1）当n=1时，左边=4，右边=4，等式成立；

（2）设当n=k时等式成立，即1•（k+1）+2•k+3•（k-1）+…+（k+2）•2+（k+1）•1=（k+1）（k+2）（k+3），

则当n=k+1时，

f（k+1）=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）+（k+2）

=（k+1）（k+2）（k+3）+（k+2）（k+2+1）

=（k+2）（k+3）（k+4），即n=k+1时等式也成立；

∴由（1）（2）可知当n∈N*时等式都成立．

解：（1）证明：由h（x）=f（x）-g（x）=ex-1-，得：

h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-2-＞0，

所以函数h（x）在区间（1，2）上有零点．

（2）由（1）得：h（x）=ex-1-，

由知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，

因此h（x）至少有两个零点．

所以-1，记φ（x）=-1，则．

当x∈（0，+∞）时，φ‘（x）＞0，因此φ（x）在（0，+∞）上单调递增，则φ（x）在（0，+∞）内至多只有一个零点．h（x）有且只有两个零点．

所以，方程f（x）=g（x）根的个数为2．

（3）记h（x）的正零点为x0，即．

（1）当a＜x0时，由a1=a，即a1＜x0．而=，因此a2＜x0，由此猜测：an＜x0．下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，a1＜x0显然成立；

②假设当n=k（k≥1）时，有ak＜x0成立，则当n=k+1时，由=知，ak+1＜x0，因此，当n=k+1时，ak+1＜x0成立．

故对任意的n∈N*，an＜x0成立．

（2）当a≥x0时，由（1）知，h（x）在（x0，+∞）上单调递增．则h（a）≥h（x0）=0，即．从而，即a2≤a，由此猜测：an≤a．下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，a1≤a显然成立；

②假设当n=k（k≥1）时，有ak≤a成立，则当n=k+1时，由知，ak+1≤a，因此，当n=k+1时，ak+1≤a成立．

故对任意的n∈N*，an≤a成立．

综上所述，存在常数M=max{x0，a}，使得对于任意的n∈N*，都有an≤M．

（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn-Sn-i，∴，∴（3分）∴（6分）

（Ⅱ）猜想，（7分）

下面用数学归纳法证明：

1）当n=1时，，猜想正确；（8分）

2）假设当n=k时猜想正确，即，

那么，即n=k+1时猜想也正确．（12分）

根据1），2）可知，对任意n∈N+，都有．（13分）

解：（1）∵a1=1，当n∈N+时，Sn=an-n-1

∴S2=a2-3，∴a2=3；S3=a3-4，∴a3=7；S4=a4-5，∴a4=15

（2）猜想

证明：当n=1时，经验证成立

假设当n=k，（k≥1）时结论成立，即

则当n=k+1时，有sk=ak+1-k-1；sk-1=ak-（k-1）-1，

两式相减得到ak=ak+1-ak-1，∴ak+1=2ak+1，∴

所以当n=k+1时，结论成立      

综上所述：

（3），即

则，得到

∴

∴-3＜a＜-1