热门试卷

解：（Ⅰ） ，，…

n≥2时，．

将上面n-1个等式相加，得，

得（n≥2）．n≥2时，（3分）

又n=1时，∴对n∈N*，恒有．（4分）

（Ⅱ）．

．

又，

所以要证明，只需证明，

即证明tn+1-（t-1）n-t＞0．（6分）

下面证明：tn+1-（t-1）n-t＞0．

（方法一）数学归纳法：

证明：①当n=1时，∵t≥2，∴t2-2t+1=（t-1）2＞0，命题成立．

②假设当n=k时，命题成立，即tk+1-（t-1）k-t＞0，

那么当n=k+1时，∵tk+1-（t-1）k-t＞0，∴tk+2-（t2-t）k-t2＞0

∴tk+2-（t-1）（k+1）-t＞（t2-t）k+t2-（t-1）（k+1）-t=（t-1）2k+（t-1）2＞0，命题也成立．

综上所述对于n∈N•，命题都成立，

∴tn+1-（t-1）n-t＞0，

∴．…（8分）

（方法二）∵n≥1，∴n+1≥2，

∴tn+1=[1+（t-1）]n+1=Cn+10+Cn+11（t-1）+Cn+12（t-1）2+…+Cn+1n+1（t-1）n+1＞Cn+10+Cn+11（t-1）

=1+（n+1）（t-1）

=（t-1）n+t．

∴tn+1-（t-1）n-t＞0，∴．（8分）

（方法三）令f（x）=tx+1-[（t-1）x+t]（x≥1），

∴f′（x）=tx+1lnt-t+1＞0，

∴f（x）在（0，+∞）是单调递增函数，

∴对于x≥1，总有f（x）≥f（1）=（t-1）2＞0，

从而对于n∈N*，tn+1-（t-1）n-t＞0成立，

∴．（8分）

（方法四）要证明，只需证明，只需证明，

只需证明，即只需证明tn＞n+1，构造函数f（x）=tx-t-1（x≥1），

则 f′（x）=txlnt-1＞0，

∴f（x）在[1，+∞）是单调递增函数，∴f（x）≥f（1）=t-2≥0，

∴由以上分析法可知：tn＞n+1，∴．（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）知bn=2n，∴，

∴．（9分）

当n=1时，显然．

当n＞1时，．（10分）

∴

=．（12分）

解：（1）由题意，

由得

∴（4分）

于是数列是以公差为的等差数列，且首项为1，

故，

所以．            （8分）

证明：（2）（11分）

∴

=（15分）