数学归纳法
共1204题

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数学归纳法
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题型：简答题

简答题

已知：在数列{an}中，a1=7，，

（1）请写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式．

（2）请证明你猜想的通项公式的正确性．

正确答案

解：（1）由已知…（3分）

猜想：an=…（6分）

（2）由

两边取倒数得：⇔，⇔，…（9分）

⇔数列 {}是以=为首相，以为公差的等差数列，…（12分）

⇒=+（n-1）=⇔a n=…（14分）

解析

解：（1）由已知…（3分）

猜想：an=…（6分）

（2）由

两边取倒数得：⇔，⇔，…（9分）

⇔数列 {}是以=为首相，以为公差的等差数列，…（12分）

⇒=+（n-1）=⇔a n=…（14分）

题型：简答题

简答题

数列{2n-1}的前n项组成集合，从集合An中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记Sn=T1+T2+…+Tn．例如：当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7．

（Ⅰ）求S3；

（Ⅱ）猜想Sn，并用数学归纳法证明．

正确答案

解：（Ⅰ）当n=3时，A3={1，3，7}，

T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，

所以S3=11+31+21=63．

（Ⅱ）由S1=1=21-1=1，S2=7=23-1，S3=63=26-1，

猜想 Sn=-1，下面证明：（1）易知n=1时成立．

（2）假设n=k时，Sn=Sk=-1，

则n=k+1时，Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1

=[T1′+（2k+1-1）]+[T2′+（2k+1-1）T1′]+[T3′+（2k+1-1）T2′]+…+[Tk′+（2k+1-1）]

（其中Ti′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为Tk），

=（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′）+（2k+1-1）+（2k+1-1）（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′）

=Sk+（2k+1-1）+（2k+1-1）Sk =2k+1（）+（2k+1-1）

=2k+1•=-1，即n=k时，

Sk+1=-1也成立，

综合（1）（2）知对n∈N*，Sn=-1成立．

所以，Sn=-1．

解析

解：（Ⅰ）当n=3时，A3={1，3，7}，

T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，

所以S3=11+31+21=63．

（Ⅱ）由S1=1=21-1=1，S2=7=23-1，S3=63=26-1，

猜想 Sn=-1，下面证明：（1）易知n=1时成立．

（2）假设n=k时，Sn=Sk=-1，

则n=k+1时，Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1

=[T1′+（2k+1-1）]+[T2′+（2k+1-1）T1′]+[T3′+（2k+1-1）T2′]+…+[Tk′+（2k+1-1）]

（其中Ti′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为Tk），

=（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′）+（2k+1-1）+（2k+1-1）（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′）

=Sk+（2k+1-1）+（2k+1-1）Sk =2k+1（）+（2k+1-1）

=2k+1•=-1，即n=k时，

Sk+1=-1也成立，

综合（1）（2）知对n∈N*，Sn=-1成立．

所以，Sn=-1．

题型：单选题

单选题

如果命题P（n）对于n=1成立，同时，如果n=k成立，那么对于n=k+2也成立．这样，下述结论中正确的是（　　）

AP（n）对于所有的自然数n成立

BP（n）对于所有的正奇数n成立

CP（n）对于所有的正偶数n成立

DP（n）对于所有大于3的自然数n成立

正确答案

解析

解：∵命题P（n）对于n=1成立，同时，如果n=k成立，那么对于n=k+2也成立．

这样，k=1时P（1）成立，可得k=3时P（3）成立，…，依此类推可得：P（n）对于所有的正奇数n成立．

故选：B．

题型：单选题

单选题

用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（　　）

B-

C-

D+

正确答案

解析

解：∵用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+，

n=k时，则1-+-+…+-=，

当n=k+1时，左侧=1-+-+…+-+，

所以当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上，

故选C．

题型：简答题

简答题

用数学归纳法证明：

（1）首项是a1，公差是d的等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d，前n项和的公式Sn=na1+d；

（2）首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是an=a1qn-1，前n项和的公式是Sn=（q≠1）．

正确答案

证明：（1）①证明等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d：

1）n=1时，显然成立；

2）假设n=k时成立，即：ak=a1+（k-1）d；

∴ak+1=ak+d=a1+（k-1）d+d=a1+kd；

即n=k+1时通项公式成立；

∴综上得等差数列的通项公式为an=a1+（n-1）d成立；

②证明等差数列的前n项和公式为：

1）n=1时，显然成立；

2）假设n=k时成立，即：

；

∴Sk+1=Sk+ak+1==；

∴n=k+1时成立；

∴综上得等差数列的前n项和公式为成立；

（2）①证明等比数列的通项公式为：

1）n=1时显然成立；

2）假设n=k时成立，即：

；

∴；

即n=k+1时成立；

综上得等比数列的通项公式为成立；

②证明等比数列的前n项和公式为：

1）n=1时，显然成立；

2）假设n=k时成立，即：；

∴=；

∴n=k+1是成立；

∴综上得等比数列的前n项和公式为成立．

解析

证明：（1）①证明等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d：

1）n=1时，显然成立；

2）假设n=k时成立，即：ak=a1+（k-1）d；

∴ak+1=ak+d=a1+（k-1）d+d=a1+kd；

即n=k+1时通项公式成立；

∴综上得等差数列的通项公式为an=a1+（n-1）d成立；

②证明等差数列的前n项和公式为：

1）n=1时，显然成立；

2）假设n=k时成立，即：

；

∴Sk+1=Sk+ak+1==；

∴n=k+1时成立；

∴综上得等差数列的前n项和公式为成立；

（2）①证明等比数列的通项公式为：

1）n=1时显然成立；

2）假设n=k时成立，即：

；

∴；

即n=k+1时成立；

综上得等比数列的通项公式为成立；

②证明等比数列的前n项和公式为：

1）n=1时，显然成立；

2）假设n=k时成立，即：；

∴=；

∴n=k+1是成立；

∴综上得等比数列的前n项和公式为成立．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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