- 数学归纳法
- 共1204题
用数学归纳法证明1+
______．
正确答案
1+
解析
解：由题意，n=2时，左式是1+
故答案为：1+
利用数学归纳法证明不等式
A
B
C
D
正确答案
解析
解：当n=k时，左边的代数式为 
当n=k+1时，左边的代数式为 
故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为 
故选 C．
已知数列{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项的和，并且a3=5，a4S2=28．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：不等式
正确答案
解：（I）设数列{an}的公差为d，由已知得
∴（5+d）（10-3d）=28，
∴3d2+5d-22=0，
解之得d=2或
∵数列{an}各项均正，∴d=2，∴a1=1．
∴an=2n-1．…（5分）
证明：（Ⅱ）∵n∈N，
∴只需证明
（i）当n=1时，左=2，右=2，∴不等式成立．…（8分）
（ii）假设当n=k时不等式成立，即
那么当n=k+1时，
以下只需证明
即只需证明
∵
∴
综合（i）（ii）知，不等式对于n∈N都成立．…（12分）
解析
解：（I）设数列{an}的公差为d，由已知得
∴（5+d）（10-3d）=28，
∴3d2+5d-22=0，
解之得d=2或
∵数列{an}各项均正，∴d=2，∴a1=1．
∴an=2n-1．…（5分）
证明：（Ⅱ）∵n∈N，
∴只需证明
（i）当n=1时，左=2，右=2，∴不等式成立．…（8分）
（ii）假设当n=k时不等式成立，即
那么当n=k+1时，
以下只需证明
即只需证明
∵
∴
综合（i）（ii）知，不等式对于n∈N都成立．…（12分）
已知数列{an}满足an+1=-an2+pan（p∈R），且a1∈（0，2）．试猜想p的最小值，使得an∈（0，2）对n∈N*恒成立，并给出证明．
正确答案
解：当n=1时，a2=-a12+pa1=a1（-a1+p），因为a1∈（0，2），所以欲a2∈（0，2）恒成立，
则要
因为p≥2，所以要证该猜想成立，只要证：当p=2时，an∈（0，2）对n∈N*恒成立．（5分）
现用数学归纳法证明之：
①当n=1时结论显然成立．（6分）
②假设当n=k时结论成立，即ak∈（0，2），
则当n=k+1时，ak+1=-ak2+2ak=ak（2-ak），
一方面，ak+1=ak（2-ak）＞0成立，（8分）
另一方面，ak+1=ak（2-ak）=-（ak-1）2+1≤1＜2，所以ak+1∈（0，2），
即当n=k+1时结论也成立．（9分）
由①、②可知，猜想成立，即p的最小值为2．（10分）
解析
解：当n=1时，a2=-a12+pa1=a1（-a1+p），因为a1∈（0，2），所以欲a2∈（0，2）恒成立，
则要
因为p≥2，所以要证该猜想成立，只要证：当p=2时，an∈（0，2）对n∈N*恒成立．（5分）
现用数学归纳法证明之：
①当n=1时结论显然成立．（6分）
②假设当n=k时结论成立，即ak∈（0，2），
则当n=k+1时，ak+1=-ak2+2ak=ak（2-ak），
一方面，ak+1=ak（2-ak）＞0成立，（8分）
另一方面，ak+1=ak（2-ak）=-（ak-1）2+1≤1＜2，所以ak+1∈（0，2），
即当n=k+1时结论也成立．（9分）
由①、②可知，猜想成立，即p的最小值为2．（10分）
用数学归纳法证明：1+2+22+…2n-1=2n-1（n∈N）的过程中，第二步假设当n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）
正确答案
解析
解：∵将式子：1+2+22+…2n-1=2n-1中n用k+1替换得：
当n=k+1时，有1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k故选D．
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