热门试卷

（1）解：∵an+1=，

∴-1=（-1），

∵a1=，

∴{-1}是以-为首项，为公比的等比数列，

∴-1=-•，

∴=1-•，

∴++…+=n-=n-（1-）；

（2）证明：n=1时，b1=a1=＜2，满足题意；

设n=k时，结论成立，即b1b2b3…bk＜2，

则n=k+1时，b1b2b3…bk+1＜2bk+1=2×，

由（1）知，=1-•＜1，∴0＜＜1，

∴b1b2b3…bk+1＜2，

由（1）（2）可知b1b2b3…bn＜2．

解：（1）∵a2=6，，

∴，∴a1=1，

∵，∴a3=15，

∵，∴a4=28，

∵，∴a5=45；

（2）由（1）知，an=n（2n-1），证明如下：

①n=1时，a1=1成立；

②假设n=k时，猜想成立，即ak=k（2k-1），则

n=k+1时，，∴ak+1=（k+1）（2k+1），

即n=k+1时，猜想成立．

由①②可知an=n（2n-1）．

（3）=，

∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=++…+，

∴Sn=+…++，

两式相减可得Sn=++…+-，

∴Sn=3-，

∵，

∴=3．

解：由于所给的等式的左边，是两两自然数的积再求和的形式，右边是一个分式，分母是6，分子是三个自然数的积，注意自然数与序号之间的关系，所以，猜想：1×3+2×4+3×5+…+n（n+2）=---------（4分）

证明：（1）当n=1时，左边=3，右边=3，等式成立．

（2）假设当n=k时，等式成立，即1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）=------------（6分）

那么，当n=k+1时，1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）+（k+1）（k+3）

=+（k+1）（k+3）

=（2k2+7k+6k+18）=（2k2+13k+18）=，

就是说，当 n=k+1时等式也成立．----------------------（13分）

综上所述，对任何n∈N+都成立．----------------------（14分）

证明（1）∵a＜b，a2-a-6=0，b2-b-6=0，

∴a=-2，b=3，a2=12．

∵，，

∴bn+1=an+2-3an+1

=6an+1-9an+1-3an+1

=3（an+1-3an）

=3bn （n∈N*）．

又b1=a2-3a1=9，

∴数列{bn}是公比为3，首项为b1的等比数列．

（2）依据（1）可以，得bn=3n+1（n∈N*）．

于是，有an+1-3an=3n+1（n∈N*），即=1，（n∈N*）．

因此，数列{}是首项为=，公差为1的等差数列．

故．

所以数列{an}的通项公式是an=（3n-2）•3n-1（n∈N*）．

（3）用数学归纳法证明：

（i）当n=2时，左边：cn+acn-1=c2-2c1=3，

右边：，

即左边=右边，所以当n=2时结论成立．

（ii）假设当n=k．（k≥2，k∈N*）时，结论成立，即．

当n=k+1时，左边=ck+1+ack

=5ck-6ck-1-2ck

=3（ck-2ck-1）=，

右边=．

即左边=右边，因此，当n=k+1时，结论也成立．

根据（i）、（ii）可以断定，

cn+acn-1=对n≥2的正整数都成立．