- 数学归纳法
- 共1204题
现有三种卡片：一种写有数字1，一种写有数字10，一种写有数字100，从上述三种卡片中选择若干张，使得这些卡片上的数字这和为m．
（1）当m=100，试求相应的选法种数；
（2）对于正整数n，数字总和为100n对应的选法种数为an，试用数学归纳法猜想并证明an．
正确答案
解：（1）分类讨论，只取数字1或10或100时，共3种；取1和10，可分为1个10，2个10，…9个10，共9种
∴相应的选法种数为3+9=12种；
（2）当数字和为200时，只取数字1或10或100时，共3种；取1和10，可分为1个10，2个10，…19个10，共19种；取1和100，即100个1和1个100，共1种；取10和100，即10个10和1个100，共1种；取数字1、10、100，相当于取1和10，数字和为100的情形，共9种，故33种
故可得数字总和为100n对应的选法种数为an，数字总和为100（n+1）对应的选法种数为an+1，其中增加的种数为取1和10；取1和100；取10和100，共10n+11种，即an+1=an+10n+11
∴an+1-an=10n+11
∴an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=5n2+6n+1
下面用数学归纳法进行证明：
①n=1时，由（1）知，结论成立
②假设n=k时成立，即ak=5k2+6k+1，则ak+1=ak+10k+11=5k2+16k+11+1=5（k+1）2+6（k+1）+1
即n=k+1时，结论成立
由①②可得an=5n2+6n+1成立．
解析
解：（1）分类讨论，只取数字1或10或100时，共3种；取1和10，可分为1个10，2个10，…9个10，共9种
∴相应的选法种数为3+9=12种；
（2）当数字和为200时，只取数字1或10或100时，共3种；取1和10，可分为1个10，2个10，…19个10，共19种；取1和100，即100个1和1个100，共1种；取10和100，即10个10和1个100，共1种；取数字1、10、100，相当于取1和10，数字和为100的情形，共9种，故33种
故可得数字总和为100n对应的选法种数为an，数字总和为100（n+1）对应的选法种数为an+1，其中增加的种数为取1和10；取1和100；取10和100，共10n+11种，即an+1=an+10n+11
∴an+1-an=10n+11
∴an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=5n2+6n+1
下面用数学归纳法进行证明：
①n=1时，由（1）知，结论成立
②假设n=k时成立，即ak=5k2+6k+1，则ak+1=ak+10k+11=5k2+16k+11+1=5（k+1）2+6（k+1）+1
即n=k+1时，结论成立
由①②可得an=5n2+6n+1成立．
某个命题与正整数有关，若当n=k（k∈N*）时该命题成立，那么推得n=k+1时该命题成立，现已知当n=8时，该命题不成立，那么可推得（ ）
正确答案
解析
解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，
P（n）对n=8不成立，P（n）对n=7也不成立，
否则n=7时命题成立，由已知必推得n=8也成立．
与当n=8时该命题不成立矛盾
故选：B．
设数列{an}对一切n∈N*，满足a1=2，an+1+an=4n+2．试用数学归纳法证明：an=2n．
正确答案
证明：（1）当n=1时，a1=2=2×1，结论成立；
（2）假设n=k时，ak=2k，
则当n=k+1时，ak+1=4k+2-ak=4k+2-2k=2k+2=2（k+1），
即n=k+1时结论也成立，
综上所述，对一切n∈N*，an=2n．
解析
证明：（1）当n=1时，a1=2=2×1，结论成立；
（2）假设n=k时，ak=2k，
则当n=k+1时，ak+1=4k+2-ak=4k+2-2k=2k+2=2（k+1），
即n=k+1时结论也成立，
综上所述，对一切n∈N*，an=2n．
用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n-1）=n2．
正确答案
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，
∴左边=右边
（2）假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k2
当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2．
综上（1）（2）可知1+3+5+…+（2n-1）=n2对于任意的正整数成立．
解析
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，
∴左边=右边
（2）假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k2
当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2．
综上（1）（2）可知1+3+5+…+（2n-1）=n2对于任意的正整数成立．
已知函数f（x）=
正确答案
证明：要证f（n）＞
只需证
下面用数学归纳法来证明2n-1＞2n（n∈N*，且n≥3）．
①当n=3时，左边=7，右边=6，左边＞右边，不等式成立．
②假设当n=k（k∈N*，且k≥3）时不等式成立，即2k-1＞2k，
则当n=k+1时，2k+1-1=2•2k-1=2（2k-1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+2k-1＞2（k+1），
故当n=k+1时，不等式也成立．
综上所述，当n∈N*且n≥3时，2n-1＞2n成立．
所以f（n）＞
解析
证明：要证f（n）＞
只需证
下面用数学归纳法来证明2n-1＞2n（n∈N*，且n≥3）．
①当n=3时，左边=7，右边=6，左边＞右边，不等式成立．
②假设当n=k（k∈N*，且k≥3）时不等式成立，即2k-1＞2k，
则当n=k+1时，2k+1-1=2•2k-1=2（2k-1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+2k-1＞2（k+1），
故当n=k+1时，不等式也成立．
综上所述，当n∈N*且n≥3时，2n-1＞2n成立．
所以f（n）＞
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