- 数学归纳法
- 共1204题
对于一切n∈N*，等式
（1）求a，b的值；
（2）用数学归纳法证明上面等式．
正确答案
解：（1）将n=1，n=2代入等式得：
（2）由（1）得，
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=
②假设n=k时等式成立，即
则n=k+1时，
左边=
=1-
=1-
即n=k+1时等式成立．…（12分）
由①②知，等式
解析
解：（1）将n=1，n=2代入等式得：
（2）由（1）得，
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=
②假设n=k时等式成立，即
则n=k+1时，
左边=
=1-
=1-
即n=k+1时等式成立．…（12分）
由①②知，等式
利用数学归纳法证明“
A增加
B增加
C增加
D增加
正确答案
解析
解：n=k时，左边=
n=k+1时，左边=
由“n=k”变成“n=k+1”时，
故选D．
已知数列{an}，{bn}满足a1=
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵an+bn=1，
∴
∴bn+1=
∴
猜想：
下用数学归纳法进行证明：
①当n=1时，
②假设当n=k时满足条件，即
当n=k+1时，
综上可得，对于任意正整数n都成立
∴
观察下列等式
1=1 第一个式子
2+3+4=9 第二个式子
3+4+5+6+7=25 第三个式子
4+5+6+7+8+9+10=49 第四个式子
照此规律下去
（Ⅰ）写出第6个等式；
（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．
正确答案
解：（Ⅰ）第6个等式6+7+8+…+16=112…（2分）
（Ⅱ）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n-2）=（2n-1）2…（4分）
证明：（1）当n=1时显然成立；
（2）假设n=k（k≥1，k∈N+）时也成立，
即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k-2）=（2k-1）2…（6分）
那么当n=k+1时，左边=（k+1）+（k+2）+…（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）
=k+（k+1）+（k+2）+…（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）-k
=（2k-1）2+（3k-1）+（3k）+（3k+1）-k
=[2（k+1）-1]2，
而右边=[2（k+1）-1]2，
这就是说n=k+1时等式也成立．…（10分）
根据（1）（2）知，等式对任何n∈N+都成立．…（12分）
解析
解：（Ⅰ）第6个等式6+7+8+…+16=112…（2分）
（Ⅱ）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n-2）=（2n-1）2…（4分）
证明：（1）当n=1时显然成立；
（2）假设n=k（k≥1，k∈N+）时也成立，
即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k-2）=（2k-1）2…（6分）
那么当n=k+1时，左边=（k+1）+（k+2）+…（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）
=k+（k+1）+（k+2）+…（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）-k
=（2k-1）2+（3k-1）+（3k）+（3k+1）-k
=[2（k+1）-1]2，
而右边=[2（k+1）-1]2，
这就是说n=k+1时等式也成立．…（10分）
根据（1）（2）知，等式对任何n∈N+都成立．…（12分）
设函数f（x）=x-sinx，数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）若a1=2，试比较a2与a3的大小；
（2）若0＜a1＜1，求证：0＜an＜1对任意n∈N*恒成立．
正确答案
（1）解：a1=2时，a2=f（2）=2-sin2∈（0，2），所以sina2＞0，
所以a3-a2=-sina2＜0，所以a2＞a3．（4分）
（2）证明：①n=1时，结论成立；
②设n=k时，0＜ak＜1，则当n=k+1时，ak+1-ak=-sinak＜0，即ak+1＜ak＜1，（6分）
当x∈（0，1）时，f‘（x）=1-cosx＞0，
即f（x）是（0，1）上的单调递增函数，所以ak+1=f（ak）＞f（0）=0，即0＜ak+1＜1
即n=k+1时，结论成立，
综上可得，当0＜a1＜1时，0＜an＜1对任意n∈N*恒成立，（10分）
解析
（1）解：a1=2时，a2=f（2）=2-sin2∈（0，2），所以sina2＞0，
所以a3-a2=-sina2＜0，所以a2＞a3．（4分）
（2）证明：①n=1时，结论成立；
②设n=k时，0＜ak＜1，则当n=k+1时，ak+1-ak=-sinak＜0，即ak+1＜ak＜1，（6分）
当x∈（0，1）时，f‘（x）=1-cosx＞0，
即f（x）是（0，1）上的单调递增函数，所以ak+1=f（ak）＞f（0）=0，即0＜ak+1＜1
即n=k+1时，结论成立，
综上可得，当0＜a1＜1时，0＜an＜1对任意n∈N*恒成立，（10分）
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