热门试卷

解：（1）∵Sn=n（2n-1）an，且a1=

∴当n=2时，S2=a1+a2=2（4-1）a2，解得：a2=；

当n=3时，S3=a1+a2+a3=3（6-1）a3，解得：a3=

（2）由 （1）可以猜想{an}的通项为an=

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，由条件知等式成立；

②假设当n=k（k≥1且k∈N*）等式成立，

即：ak=

那么当n=k+1时，由条件Sn=n（2n-1）an 有：

Sk=k（2k-1）ak=k（2k-1）； 

=，

∴Sk+1-Sk=ak+1=（k+1）（2k+1）-，即

k（2k+3）ak+1=，∴ak+1=，

即：当n=k+1时等式也成立．

由①②可知，命题对一切n∈N*都成立．

解：（1）f（0）+f（1）=+==，

f（-1）+f（2）=+==.2分

（2）由（1）归纳得到对一切实数x，有f（x）+f（1-x）=.4分

证明：f（x）+f（1-x）=+=+===.7分

（3）设S=f（-99）+f（-98）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100），

又S=f（100）+f（99）+…+f（1）+f（0）+f（-1）+…+f（-99），

两式相加，得（由（2）的结论）2S=200×，

∴S=.12分．

解：由题意，f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，f（4）=11，f（5）=16----4分

猜想f（n）=-----8分

证明：①当n=1时 上式显然成立

②假设当n=k（k≥）时成立，即成立

则当n=k+1时，第k+1条直线与前k条直线相交有k个交点，

所以k个交点将第k+1条直线分成k+1份，每一份将原来的区间分成2份，

所以在原来的基础上增加了k+1个区间．--------12分

所以f（k+1）=f（k）+k+1=+k+1=

所以当n=k+1时成立----------13分

综合①②，所以猜想成立-------14分．

解：（1）∵an-an-1=2n-1，且a1=1，

∴a2=a1+2×2-1=1+2×2-1=4；

a3=a2+2×3-1=4+2×3-1=9，

同理可得：a4=16；

（2）由（1）可猜想：an=n2；

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，由已知a1=1=12，成立；

②假设n=k时，命题成立，即ak=k2；

则当n=k+1时，ak+1=ak+2（k+1）-1=k2+2k+1=（k+1）2，

即n=k+1时，等式也成立，

综合①②知，对∀n∈N*，an=n2．