热门试卷

证明：（1）当n=1时，左边=，右边=，

∴左边=右边

（2）假设n=k时等式成立，即++…+=1-；

当n=k+1时，等式左边=++…++=1-+=1-

这就是说，n=k+1时，等式成立．

综上（1）（2）可知（n是正整数）．．

解：（1）当n=1时，a1=51+2×30+1=8，当n=2时，a2=52+2×31+1=32，当n=3时，a3=53+2×32+1=144，当n=4时，a4=54+2×33+1=680，

∴n∈N*，an=5n+2×3n-1+1能被8整除；

（2）1°当n=1时已证；

2°假设当n=k（k∈N*）时命题成立，即5k+2×3k-1+1能被8整除．

则当n=k+1时，5k+1+2×3k+1=5•5k+6•3k-1+1=（5k+2•3k-1+1）+4（5k+3k-1），

∵5k+2×3k-1+1能被8整除，而5k+3k-1为偶数，

∴4（5k+3k-1）也能被8整除．即当n=k+1时命题也成立．

∴n∈N*，an=5n+2×3n-1+1能被8整除．

解：假设存在常数a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）对于任意的n∈N+总成立，

令n=1与n=2得：

解得：，

即1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=n（n+1）（n+2）．

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，左边=1×1=1，右边=×1×1×（1+1）×（1+2）=1，因此左边=右边，

∴当n=1时等式成立，

（2）假设当n=k时成立，

即1×k+2×（k-1）+3×（k-2）+…+k×1=k（k+1）（k+2），

那么当 n=k+1时，

1×（k+1）+2×[（k+1）-1]+3×[（k+1）-2）]+…+（k+1）×1

=[1×k+2×（k-1）+3×（k-2）+…+k×1]+[1+2+3+…+（k+1）]

=k（k+1）（k+2）+

=（k+1）（k+2）（k+3）

=（k+1）[（k+1）+1][（k+1）+2]

所以，当 n=k+1时等式也成立．

根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N+都成立．

（1）证明：设，

所以．…（1分）

当x＜0时，，当x=0时，，当x＞0时，．

即函数φ1（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，在x=0处取得唯一极小值，…（2分）

因为φ1（0）=0，所以对任意实数x均有 φ1（x）≥φ1（0）=0．

即f（x）-g1（x）≥0，

所以f（x）≥g1（x）．…（3分）

（2）解：当x＞0时，f（x）＞gn（x）．…（4分）

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，由（1）知f（x）＞g1（x）．

②假设当n=k（k∈N*）时，对任意x＞0均有f（x）＞gk（x），…（5分）

令φk（x）=f（x）-gk（x），φk+1（x）=f（x）-gk+1（x），

因为对任意的正实数x，，

由归纳假设知，．…（6分）

即φk+1（x）=f（x）-gk+1（x）在（0，+∞）上为增函数，亦即φk+1（x）＞φk+1（0），

因为φk+1（0）=0，所以φk+1（x）＞0．

从而对任意x＞0，有f（x）-gk+1（x）＞0．

即对任意x＞0，有f（x）＞gk+1（x）．

这就是说，当n=k+1时，对任意x＞0，也有f（x）＞gk+1（x）．

由①、②知，当x＞0时，都有f（x）＞gn（x）．…（8分）

（3）证明：先证对任意正整数n，gn（1）＜e．

由（2）知，当x＞0时，对任意正整数n，都有f（x）＞gn（x）．

令x=1，得gn（1）＜f（1）=e．

所以gn（1）＜e．…（9分）

再证对任意正整数n，=．

要证明上式，只需证明对任意正整数n，不等式成立．

即要证明对任意正整数n，不等式（*）成立．…（10分）

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：

方法1（数学归纳法）：

①当n=1时，成立，所以不等式（*）成立．

②假设当n=k（k∈N*）时，不等式（*）成立，

即．…（11分）

则．

因为，…（12分）

所以．…（13分）

这说明当n=k+1时，不等式（*）也成立．

由①、②知，对任意正整数n，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数n，不等式成立．

…（14分）

方法2（基本不等式法）：

因为，…（11分），

…，，

将以上n个不等式相乘，得．…（13分）

所以对任意正整数n，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数n，不等式成立．

…（14分）