热门试卷

证明：（1）当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=（a3+a2）+（a2+a1）=（a2+a1）+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3，

即当m=1时，第4m+1项能被3整除，命题成立；

（2）假设当m=k时，a4k+1能被3整除，

则当m=k+1时，

a4（k+1）+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2（a4k+2+a4k+1）+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1．

显然，3a4k+2能被3整除，又由假设知a4k+1能被3整除，

∴3a4k+2+2a4k+1能被3整除．

即当m=k+1时，a4（k+1）+1也能被3整除．命题也成立．

由（1）和（2）知，对于任意n∈N*，数列{an}中的第4m+1（m∈N*）项能被3整除．

解：（1）∵．

∴…．（1分）

…（2分）

…（3分）

由此猜想数列{an}的通项公式…..（5分）

（2）下面用数学归纳法证明

①当n=1时，，猜想成立…..（6分）

②假设当n=k（k∈N+，k≥1）猜想成立，即…．（7分）

∵．…（8分）

∴…（12分）

即当n=k+1时猜想也成立…..（13分）

根据①和②，可知猜想对任何n∈N+都成立…..（14分）

（用其他方法正确证明也给分）

解：（1），得，由an＞0，∴a1=1．（1分）

，得，∴，（3分）

同理，求得．（5分）

（2）猜想．（6分）

①n=1时，命题成立．（7分）

②假设n=k时，（*）成立，

则n=k+1时，

把 （*）代入上式，化简得，，

∴（负舍），即n=k+1时，命题成立．

由①②得，．（14分）

解：（1）∵3a2、2a3、a4成等差数列，

∴4a3=3a2+a4，∴

∵q≠0，a1=3，

∴q2-4q+3=0

∵q≠1，∴q=3

∵a1=3，∴=3n；

（2）①∵b1=q，∴b2=3a1+rb1=3（3+r）；b3=3a2+rb2=3（32+3r+r2）；

b4=3a3+rb3=3（33+32r+3r2+r3）；

②bn=3（3n-1+3n-2r+…+3rn-2+rn-1），

∵r≠3，∴bn=

用数学归纳法证明如下．

①n=2时，=3（3+r），结论成立；

②假设n=k时，结论成立，即bk=

∴n=k+1时，bk+1=3ak+rbk==

即n=k+1时，结论成立

由①②可知结论成立．