数学归纳法_章节学习

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题型：填空题

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填空题

用数学归纳法证明|n2-5n+5|≠1，需证明的第一个n值是______．

正确答案

5

解析

解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；

结合本题，由于n2-5n+5=1时，n=1或4，n2-5n+5=-1时，n=2或3，

所以需证明的第一个n值是5．

故答案为：5．

1

题型：简答题

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简答题

已知{fn（x）}满足f1（x）=（x＞0），fn+1（x）=f1[fn（x）]，

（1）求f2（x），f3（x），并猜想fn（x）的表达式；

（2）用数学归纳法证明对fn（x）的猜想．

正确答案

解：（1）---------------------1

---------------------1

猜想：，（n∈N*）---------------------2

（2）下面用数学归纳法证明，（n∈N*）

①当n=1时，，显然成立；--------------------1

②假设当n=k（k∈N*）时，猜想成立，即，--------------------1

则当n=k+1时，

即对n=k+1时，猜想也成立；

结合①②可知，猜想对一切n∈N*都成立．--------------------2

解析

解：（1）---------------------1

---------------------1

猜想：，（n∈N*）---------------------2

（2）下面用数学归纳法证明，（n∈N*）

①当n=1时，，显然成立；--------------------1

②假设当n=k（k∈N*）时，猜想成立，即，--------------------1

则当n=k+1时，

即对n=k+1时，猜想也成立；

结合①②可知，猜想对一切n∈N*都成立．--------------------2

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题型：简答题

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简答题

已知数列{xn}满足x1=，且xn+1=，（n∈N+）

（1）用数学归纳证明：0＜xn＜1

（2）设an=，求数列{an}的通项公式．

正确答案

（1）证明：①当n=1时，x1=∈（0，1），

②假设当n=k时，结论成立，即xk∈（0，1），

则当n=k+1时，xk+1=f（xk）=

∵xk∈（0，1），

∴∈（0，1），

即n=k+1时结论成立

综上①②可知0＜xn＜1；…（6分）

（2）解：由xn+1=可得：=-1

∵an=，

∴an+1=2an-1，

∴an+1-1=2（an-1）…（8分）

又a1-1=1

∴{an-1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，

∴an-1=2n-1，

即an=2n-1+1…（12分）

解析

（1）证明：①当n=1时，x1=∈（0，1），

②假设当n=k时，结论成立，即xk∈（0，1），

则当n=k+1时，xk+1=f（xk）=

∵xk∈（0，1），

∴∈（0，1），

即n=k+1时结论成立

综上①②可知0＜xn＜1；…（6分）

（2）解：由xn+1=可得：=-1

∵an=，

∴an+1=2an-1，

∴an+1-1=2（an-1）…（8分）

又a1-1=1

∴{an-1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，

∴an-1=2n-1，

即an=2n-1+1…（12分）

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题型：简答题

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简答题

对于任意n∈N*，比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

正确答案

解：取n=，取

…由此推测．

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，左边=2，右边=2＞∴不等式成立．

（2）假设n=k时，不等式成立，有，

那么，n=k+1时，=，

因而，

即当n=k+1时，不等式也成立．

由上可知，对于任意n∈N*，．

解析

解：取n=，取

…由此推测．

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，左边=2，右边=2＞∴不等式成立．

（2）假设n=k时，不等式成立，有，

那么，n=k+1时，=，

因而，

即当n=k+1时，不等式也成立．

由上可知，对于任意n∈N*，．

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题型：简答题

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简答题

定义：设函数y=f（x）在（a，b）内可导，f‘（x）为f（x）的导数，f''（x）为f'（x）的导数即f（x）的二阶导数，若函数y=f（x）在（a，b）内的二阶导数恒大于等于0，则称函数y=f（x）是（a，b）内的下凸函数（有时亦称为凹函数）．已知函数f（x）=xlnx

（1）证明函数f（x）=xlnx是定义域内的下凸函数，并在所给直角坐标系中画出函数f（x）=xlnx的图象；

（2）对∀x1，x2∈R+，根据所画下凸函数f（x）=xlnx图象特征指出x1lnx1+x2lnx2≥（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]与x1lnx1+x2lnx2≥（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]的大小关系；

（3）当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2n），若，证明：（i，n∈N*）．

正确答案

解：（1）函数f（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），

f‘（x）=1+lnx，，

故函数f（x）=xlnx是定义域（0，+∞）内的下凸函数，…（2分）

函数f（x）=xlnx在（0，]单调递减，在[，+∞）单调递增，

且f（）=-，f（1）=0，f（e）=e，…（3分）

故其图象如下图所示．…．（4分）

（2）由下凸函数f（x）=xlnx的图象特征可知：，

故x1lnx1+x2lnx2≥（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]

≥x1lnx1+x2lnx2≥（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]

（当且仅当x1=x2时取=号）…．（6分）

（3）∵S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2n），

∴S（n）=[1+3+5+…+（2n-1）]+[N（2）+N（4）+N（6]+…+N（2n）]，

∴S（n）=4n-1+S（n-1），（n≥1），

∵S1=N（1），S（1）=2，…（7分）

∴…（8分）

∴，

故证明（i，n∈N*）

即证…（9分）

（证法一）数学归纳法

ⅰ）当n=1时，由（2）知命题成立．

ⅱ）假设当n=k（ k∈N*）时命题成立，

即若，

则…（10分）

当n=k+1时，x1，x2，…，，满足．

设，

由（2）得

=

=．

由假设可得 F（x）≥-ln2k-ln2=-ln2k+1，命题成立．

所以当 n=k+1时命题成立…（13分）

由ⅰ），ⅱ）可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，

所以若，则（i，n∈N*）．

即有（i，n∈N*）． …（14分）

（证法二）若，

那么由（2）可得…（10分）

=…（11分）

=…（12分）

…（13分）

=-ln2n．

即有（i，n∈N*）． …（14分）

解析

解：（1）函数f（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），

f‘（x）=1+lnx，，

故函数f（x）=xlnx是定义域（0，+∞）内的下凸函数，…（2分）

函数f（x）=xlnx在（0，]单调递减，在[，+∞）单调递增，

且f（）=-，f（1）=0，f（e）=e，…（3分）

故其图象如下图所示．…．（4分）

（2）由下凸函数f（x）=xlnx的图象特征可知：，

故x1lnx1+x2lnx2≥（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]

≥x1lnx1+x2lnx2≥（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]

（当且仅当x1=x2时取=号）…．（6分）

（3）∵S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2n），

∴S（n）=[1+3+5+…+（2n-1）]+[N（2）+N（4）+N（6]+…+N（2n）]，

∴S（n）=4n-1+S（n-1），（n≥1），

∵S1=N（1），S（1）=2，…（7分）

∴…（8分）

∴，

故证明（i，n∈N*）

即证…（9分）

（证法一）数学归纳法

ⅰ）当n=1时，由（2）知命题成立．

ⅱ）假设当n=k（ k∈N*）时命题成立，

即若，

则…（10分）

当n=k+1时，x1，x2，…，，满足．

设，

由（2）得

=

=．

由假设可得 F（x）≥-ln2k-ln2=-ln2k+1，命题成立．

所以当 n=k+1时命题成立…（13分）

由ⅰ），ⅱ）可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，

所以若，则（i，n∈N*）．

即有（i，n∈N*）． …（14分）

（证法二）若，

那么由（2）可得…（10分）

=…（11分）

=…（12分）

…（13分）

=-ln2n．

即有（i，n∈N*）． …（14分）

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