- 数学归纳法
- 共1204题
用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，从k→k+1需增添的项的是______．
正确答案
（2k+2）+（2k+3）
解析
解：用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，
假设n=k时成立，即1+2+3+…+（2k+1）=（k+1）（2k+1），
那么，当n-k+1时，左边=1+2+3+…+（2k+1）+（2k+2）+[2（k+1）+1]
=1+2+3+…+（2k+1）+（2k+2）+（2k+3）．
∴从k→k+1需增添的项的是（2k+2）+（2k+3）．
故答案为：（2k+2）+（2k+3）．
设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n
（1）求a1，a2，a3，a4
（2）猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：（1）因为Sn=2an-n，
所以a1=1，a2=3，a3=7，a4=15；
（2）猜想 an=2n-1
证明：①n=1时成立
②假设n=k时成立，即ak=2k-1
则n=k+1时，Sk+1=2ak+1-（k+1），又Sk=2ak-k
两式相减得：ak+1=2ak+1
由假设及上式得：
即：
所以n=k+1时也成立
由①②知an=2n-1，n∈N+时成立
解析
解：（1）因为Sn=2an-n，
所以a1=1，a2=3，a3=7，a4=15；
（2）猜想 an=2n-1
证明：①n=1时成立
②假设n=k时成立，即ak=2k-1
则n=k+1时，Sk+1=2ak+1-（k+1），又Sk=2ak-k
两式相减得：ak+1=2ak+1
由假设及上式得：
即：
所以n=k+1时也成立
由①②知an=2n-1，n∈N+时成立
已知数列{an}满足：a1=3，an=
（1）用数学归纳法证明：∀n∈N*，∃mn∈N，使an=4mn+3；
（2）求a2013的末位数字．
正确答案
解：（1）当n=1时，a1=3，
假设当n=k，ak=4mk+3，mk∈N．
则当n=k+1时，
=
=
=
=4T-1=4（T-1）+3．其中T=
∴∃mk+1=∈N使ak+1=4mk+1+3，
∴当n=k+1时，结论也成立．
∴∀n∈N*，∃mn∈N，使an=4mn+3．
（2）
故a2013的末位数字是7．
解析
解：（1）当n=1时，a1=3，
假设当n=k，ak=4mk+3，mk∈N．
则当n=k+1时，
=
=
=
=4T-1=4（T-1）+3．其中T=
∴∃mk+1=∈N使ak+1=4mk+1+3，
∴当n=k+1时，结论也成立．
∴∀n∈N*，∃mn∈N，使an=4mn+3．
（2）
故a2013的末位数字是7．
用数学归纳法证明1+
正确答案
解析
解：用数学归纳法证明 
第一步应验证不等式为：
故答案为：
假设n=k时成立，当n=k+1时，证明
正确答案
解析
解：n=k时，不等式的左边等于 
当n=k+1时，不等式的左边等于 
当n=k+1时，不等式的左边比n=k时增加的向为 
故选D．
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