热门试卷

解：（1）由an+1=，可得a2==，a3===，

a4===．

（2）猜测an=（n∈N*）．

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，左边=a1=a，

右边==a，猜测成立．

②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，

即ak=．

则当n=k+1时，ak+1==

==．

故当n=k+1时，猜测也成立．

由①，②可知，对任意n∈N*都有an=成立．

解：（1）由已知得n=1时，a1=1，n=2时，所以，n=3时，解得，．

（2）猜想（n∈N*）．

证明：①当n=1时，由上可知命题成立；

②假设n=k时命题成立，即成立．

由得．

代入假设，得，

∴．

∵ak+1＞0，

∴．

∴n=k+1时也成立．

综合①②知对任意n∈N*都成立．

解：（1）a=4，f（x）=，

=f（n）=

g（n）====+，

此函数是关于n的减函数，

当n=1时取得最大值，

故g（n）的最大值为g（1）=．

（2）由（1）知，可得

an=4n-，bn=3n-2

令an=bm，4n-=3m-2可得：=3n-4n∈Z，矛盾

所以在数列{an} 与{bn}中不存在相等的项．

（3）证明：∵h（dn）=

∴要证h（d1）•h（d2）…h（dn）＜

即要证××…×＜（直接用数学归纳法证明不出）

只要证明××…×＜（再用数学归纳法证明即可）

①当n=1时，××…×＜显然成立，当n=2时，××…×＜成立；

②假设当n=k（k≥2）时××…×＜成立，

当n=k+1时，为了要证明：××…×＜成立

只要证：

⇔3（2k+1）2≤（3k+1）[（2k+2）2-（2k+1）2]=（3k+1）（4k+3）

⇔12k2+12k+3≤12k2+13k+3⇔k≥0．

最后一个式子显然成立，从而得出n=k+1时也成立．

由①②可得n∈N+时，h（d1）•h（d2）…h（dn）＜．

解：（1）当n=1时，S1=a1=，

当n=2时，S1S2-2S2+1=0，即a1（a1+a2）-（a1+a2）+1=0，解得a2=．

当n=3时，S3S2-2S3+1=0，即（a1+a2+a3）（a1+a2）-（a1+a2+a1）+1=0，解得a3=．

同理a4=．

（2）由（1）可得，，，，

猜想，n=1，2，3，…

下面用数学归纳法证明

①n=1时，已经成立；

②假设n=k时结论成立即，

当n=k+1时，SkSk+1-2Sk+1+1=0，得=．所以n=k+1时结论成立．

综上由①②可知，猜想，n=1，2，3，…成立．