- 数学归纳法
- 共1204题
用数学归纳法证明不等式
A
B
C
D
正确答案
解析
解：当n=k+1时，不等式
即 
故选 D．
对于n∈N*，求证：1+
正确答案
证明：（ⅰ）当n=1时，原不等式成立；
（ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即1+
则当n=k+1时，1+
证明eln（k+1）-k+
即证明eln
即证明eln
令x=
可构造函数f（x）=
∴（1，e）上f′（x）＞0，（e，+∞）上f′（x）＜0
∴
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数n，不等式都成立．
解析
证明：（ⅰ）当n=1时，原不等式成立；
（ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即1+
则当n=k+1时，1+
证明eln（k+1）-k+
即证明eln
即证明eln
令x=
可构造函数f（x）=
∴（1，e）上f′（x）＞0，（e，+∞）上f′（x）＜0
∴
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数n，不等式都成立．
用数学归纳法证明2n＞n2（n∈N+）第一步应验证（ ）
正确答案
解析
解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；
结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=12=1，2n＞n2不成立，
n=2时，左=22=4，右=22=4，2n＞n2不成立，
n=3时，左=23=8，右=32=9，2n＞n2不成立，
n=4时，左=24=16，右=42=16，2n＞n2不成立，
n=5时，左=25=32，右=52=25，2n＞n2成立，
因为n＞5成立，所以2n＞n2恒成立．
故选B．
已知f（n）=（2n+7）•3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（ ）
正确答案
解析
解：由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，显然成立．
（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除；
当n=k+1时，
[2（k+1）+7]•3k+1+9
=3[（2k+7）•3k+9]-18+2×3k+1
=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k-1-1），
∵3k-1-1是2的倍数，
∴18（3k-1-1）能被36整除，
∴当n=k+1时，f（n）也能被36整除．
由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值为36．
用数学归纳法证明：
正确答案
证明：（1）当n=1时，左边=
（2）假设当n=k（k∈N*）时，
则当n=k+1时，左边=
∴当n=k+1时，不等式成立．
综上可得：∀n∈N*，
解析
证明：（1）当n=1时，左边=
（2）假设当n=k（k∈N*）时，
则当n=k+1时，左边=
∴当n=k+1时，不等式成立．
综上可得：∀n∈N*，
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