热门试卷

解：（Ⅰ）由a1=2，得a2=-a1+1=3，

由a2=3，得a3=-2a2+1=4，

由a4=-3a3+1=5，

由此猜想an=n+1．

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，a1=1+1，猜想成立；

（2）假设当n=k时，猜想成立，即ak=k+1，

那么当n=k+1时，

ak+1=-kak+1=（k+1）2-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1，

由（1）（2）知，对于任意的n∈N*都有an=n+1成立．

（Ⅱ）∵bn=an-1=n，

∴++…+=++…+，

设f（n）=++…+，

则f（n+1）=++…+++

=++…+++-，

=f（n）+＞f（n），

∴f（n+1）＞f（n）＞…＞f（1）==，

∴m=11．

解：（1）第5行  1-4+9-16+25=1+2+3+4+5-----------------------------------------（2分）

第6行  1-4+9-16+25-36=-（1+2+3+4+5+6）-------------------------------（4分）

第n行等式为：

12-22+32-42+…+（-1）n-1n2=（-1）n-1•（1+2+3+…+n）．-------------（6分）

（2）证明：①当n=1时，左边=12=1，

右边=（-1）0×=1，左边=右边，等式成立．--------------------（8分）

②假设n=k（k∈N*）时，等式成立，即12-22+32-42+…+（-1）k-1k2=（-1）k-1•．

则当n=k+1时，

12-22+32-42+…+（-1）k-1k2+（-1）k（k+1）2

=（-1）k-1•+（-1）k（k+1）2

=（-1）k（k+1）•[（k+1）-]

=（-1）k•．

∴当n=k+1时，等式也成立

根据①②可知，对于任何n∈N*等式均成立．--------------------------（12分）

证明：（1）当n=1时，左边=1×2×3=6，右边==左边，∴等式成立．

（2）设当n=k（k∈N*）时，等式成立，

即．  

则当n=k+1时，

左边=1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）

∴n=k+1时，等式成立．

由（1）、（2）可知，原等式对于任意n∈N*成立．

证明：当n=4时，显然成立，

当n=5时，45=1024，54=625，45＞54，成立；

假设n=k（k≥4，k∈N），4k≥k4成立．

当n=k+1时，4k+1=4k•4≥4k4，

4k4-（k+1）4=[2k2-（k+1）2][2k2+（k+1）2]

=（k2-2k-1）[2k2+（k+1）2]=[（k-1）2-2][2k2+（k+1）2]，

由于k≥3，则（k-1）2-2＞0，2k2+（k+1）2＞0，

则有4k4-（k+1）4≥0，

则有n=k+1时，4k+1≥（k+1）4成立．

综上，可得，4n≥n4（n为大于3的正整数）．

将4换成其他更大的数，比如m＞4，则有mn≥nm（n为大于m-1的正整数）．