热门试卷

证明：（1）由，得，代入得，∴，

∴2bn+1=bn+3，∴2（bn+1-3）=bn-3，

∴{bn-3}是首项为2，公比为的等比数列

∴，∴

（2）法一：由（2）得

∴

∵

∴

法二：同理由

∵

∴

（Ⅰ）解：∵数列{an}中，a1=1，a2=，且an+1=（n≥2），

∴a3===，同理可求a4=，

故可以猜测…（2分）

下面用数学归纳法证明：显然当n=1时，结论成立．…（3分）

假设当n=k（k≥1）时结论成立，即，

当n=k+1时，…（5分）

即当n=k+1时，结论也成立，综合可得成立．…（6分）

（Ⅱ）证明：∵，…（8分）

∴b1+b2+……=，

要证b1+b2+…+bn＜成立，

只需证明，即证，…（10分）

即证，即证，该式显然成立，故结论得证．…（12分）

证明：（Ⅰ）先用数学归纳法证明0＜an＜1．

①当n=1时，由已知得结论成立

②假设n=k（k∈N+）时0＜ak＜1成立，则当n=k+1时，设f（x）=x-ln（x+1），

于是在（0，1）上恒有f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上递增，

所以f（0）＜f（ak）＜f（1）=1-ln2＜1，又f（0）=0，从而0＜ak+1＜1，

这就是说当n=k+1时命题成立，

由①②知0＜an＜1成立

又an+1-an=-ln（1+an）＜0，即an+1＜an，

综上可得，0＜an+1＜an＜1，n∈N+．…（6分）

（Ⅱ）因为，所以=，

所以n≥2时，

因为an+1＜，an＞0，所以，

从而n≥2时 ，

因为a1=，当n≥2时，0＜an＜an-1＜1

所以，又，

因此当n≥2时，bn＞an•n!．…（13分）