热门试卷

证明：（1）①当n=1时，左边=3×1-2=1，右边×1（3×1-1）=1，左边=右边，等式成立；

②假设当n=k时等式成立，即1+4+7+…+（3k-2）=k（3k-1），

则当n=k+1时，

1+4+7+…+（3k-2）+[3（k+1）-2]

=k（3k-1）+[3（k+1）-2]

=（3k2+5k+2）

=（k+1）（3k+2）

=（k+1）[3（k+1）-1]，

即n=k+1时，等式也成立；

综合①②知，对任意n∈N*，等式成立．

（2）证明：①当n=1时，证明左边=，右边=，左边=右边，等式成立；

②假设当n=k时等式成立，即++…+=，

则当n=k+1时，

++…++

=+

=

=

=

=，

即当n=k+1时，等式也成立；

综上知，对任意n∈N*，等式++…+=恒成立．

解：（1）由条件对任意实数x，都有f（x）≥x，知f（2）≥2成立

∵当x∈（1，3）时，有f（x）≤（x+2）2成立，

∴取x=2时，f（2）≤（2+2）2=2成立，

∴f（2）=2．

∴4a+2b+c=2①

∵f（-2）=0

∴4a-2b+c=0②

由①②可得，∴4a+c=2b=1，

∴b=，c=1-4a，又f（x）≥x恒成立，即ax2+（b-1）x+c≥0恒成立，

∴a＞0，

可得a=，∵c=1-4a，

∴c=，

∴a=，b=，c=，

∴f（x）=．

（2）：（Ⅰ）证明：0＜an＜1，

①当n=1时，0＜a1＜1，成立；

②假设n=k时，0＜ak＜1，

那么，ak+1=ak-sinak

∵0＜ak＜1，∴ak-sinak∈（0，1）．即ak+1∈（0，1）；

由①②可知，0＜an＜1，n=1，2，3，…成立．

下面证明an＞an+1

g（x）=4f′（x）-sinx-2=x-sinx，

g′（x）=1-cosx＞0，∴g（x）是增函数，

g（x）≥g（0）=0．

当x∈[0，1）时，sinan＞0，an+1=an-sinan，

∴an＞an+1

∴0＜an+1＜an＜1；

（Ⅱ）设h（x）=x-sinx-，易证h（x）=x-sinx-

在x∈[0，1）时单调递减，

所以，h（x）＜h（0）=0，

∴x-sinx，an∈（0，1），

∴an+1＜3．