- 数学归纳法
- 共1204题
数列{an}的前n项和Sn与an满足：Sn=1-nan（n∈N*），求{an}的通项公式．（注意：本题用数学归纳法做，其它方法不给分）
正确答案
解：由题意，a1=S1=1-a1，∴
a2=S2-S1=（1-2a2）-（1-a1），∴
猜想
用数学归纳法证明如下：
（1）n=1时，结论成立；
（2）假设n=k时，结论成立，即
则n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=[1-（k+1）ak+1]-[1-k•
∴
即猜想成立
∴
解析
解：由题意，a1=S1=1-a1，∴
a2=S2-S1=（1-2a2）-（1-a1），∴
猜想
用数学归纳法证明如下：
（1）n=1时，结论成立；
（2）假设n=k时，结论成立，即
则n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=[1-（k+1）ak+1]-[1-k•
∴
即猜想成立
∴
数列{an}满足an＞0，Sn=
正确答案
解：∵an＞0，∴Sn＞0，由S1=
由S2=
变形整理得S22=2，取正根得S2=
用数学归纳法证明如下：
（1）当n=1时，上面已求出S1=1，结论成立．
（2）假设当n=k时，结论成立，即Sk=
那么，当n=k+1时，Sk+1=
整理得Sk+12=k+1，取正根得Sk+1=
故当n=k+1时，结论成立．
由（1）、（2）可知，对一切n∈N*，Sn=
解析
解：∵an＞0，∴Sn＞0，由S1=
由S2=
变形整理得S22=2，取正根得S2=
用数学归纳法证明如下：
（1）当n=1时，上面已求出S1=1，结论成立．
（2）假设当n=k时，结论成立，即Sk=
那么，当n=k+1时，Sk+1=
整理得Sk+12=k+1，取正根得Sk+1=
故当n=k+1时，结论成立．
由（1）、（2）可知，对一切n∈N*，Sn=
用数学归纳法证明：l3+23+33+…+n3=
正确答案
证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，∴n=1时，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即
13+23+33++k3+（k+1）3
=
∴n=k+1时，等式成立．
综合①、②原等式获证．
解析
证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，∴n=1时，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即
13+23+33++k3+（k+1）3
=
∴n=k+1时，等式成立．
综合①、②原等式获证．
利用数学归纳法证明不等式1+
正确答案
解析
解：用数学归纳法证明等式1+
假设n=k时不等式成立，左边=1+
则当n=k+1时，左边=1+
∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：
共（2k+1-1）-2k+1=2k项，
故选：D．
一个与自然数有关的命题，若n=k（k∈N）时命题成立可以推出n=k+1时命题也成立．现已知n=10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：______（填上所有正确命题的序号）
①n=11时该命题一定不成立；
②n=11时该命题一定成立；
③n=1时该命题一定不成立；
④至少存在一个自然数n0，使n=n0时该命题成立；
⑤该命题可能对所有自然数都不成立．
正确答案
③⑤
解析
解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，
P（n）对n=10时该命题不成立，（否则n=11也成立）．
同理可推得P（n）对n=2，n=1也不成立．所以③正确，⑤正确
故答案为：③⑤．
扫码查看完整答案与解析