热门试卷

解：（1）∵an+Sn=n，∴n=1时，

n=2时，a2+S2=2，∴

n=3时，a3+S3=3，∴

n=4时，a4+S4=4，∴；…（2分）

（2）猜想：，下面用数学归纳法证明：…（3分）

①当n=1时，，猜想成立；

②假设当n=k时猜想成立，即，

则当n=k+1时，，

即，∴，即当n=k+1时猜想也成立，

∴由①②知：n∈N*时都成立．…（8分）

（3）∵bn+1=an+1-an，∴（n≥2），

∵，∴（n∈N*）．…（10分）

解：设D，E，F是正三角形ABC的边BC，CA，AB上的中点，O为中心．

1．连AO，BO，CO，则将正三角形ABC分为三个相等的顶角为120°的等腰三角形；

2．连AD，DE，DF．则△ADE，△ADF是相等的顶角为120°的等腰三角形△BDF，△CDE是相等的正三角形；

这样将正三角形ABC分为四个等腰三角形；

3．在AD上取一点H，使DH=，则△BHC是等腰直角三角形，分别在CA，AB上取一点

P与Q，使∠APH=∠AQH=30°．则

△APH，△AQH是相等的顶角为120°的等腰三角形，

△PCH，△QBH是相等的顶角为150°的等腰三角形，

这样将正三角形ABC分为五个等腰三角形；

4．在第三种情况下，我们只需分割等腰直角三角形BHC，那可得出所有分割．下面利用数学归纳法证明：只需分割等腰直角三角形BDH，那可得出所有分割．

（1）当n=1时，△BDH是等腰直角三角形，取BH的中点M1，连接DM1，则Rt△BDM1，Rt△DHM1都是等腰直角三角形．即由一个等腰直角三角形可以分割成两个等腰直角三角形．

（2）假设由n个等腰直角三角形可以分割成n+1个等腰直角三角形．

下面证明：由n+1个等腰直角三角形可以分割成n+2个等腰直角三角形，只需将其中的一个等腰直角三角形分割成两个等腰直角三角形即可，这个由（1）成立．

综上可知：上述结论成立．

因此可将一个正三角形分成n个等腰三角形．

解：（1）n=2时，a2-a1=+2+1，∴a2=12．

同理可得a3=20，a4=30．

（2）猜测an=（n+1）（n+2）．下用数学归纳法证明：

①当n=1，2，3，4时，显然成立；

②假设当n=k（k≥4，k∈N*）时成立，即有ak=（k+1）（k+2），则当n=k+1时，

由且an-an-1=+n+1，得+n+1，

故==（k+2）（k+3），

故n=k+1时等式成立；

由①②可知：an=（n+1）（n+2）对一切n∈N*均成立．