热门试卷

证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，

在等式中，

令n=1，得1=a+b+c     ①

令n=2，得=2a+b+   ②

令n=3，得   ③

由①②③解得a=，b=，c=，

于是，对于n=1，2，3都有

=（*）成立．

下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．

（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．

（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，

即=

那么当n=k+1时，

=

=

==

由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．

综上所述，当a=，b=，c=时题设的等式对于一切正整数n都成立．

解：（ I）∵a1=3，且，

∴，，； 

（ II）由（1）猜想，下面用数学归纳法进行证明．

①当n=1时，，满足要求，猜想成立；

②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，猜想成立，即，

那么当n=k+1时，，

这就表明当n=k+1时，猜想成立．

根据（1），（2）可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即．

解：当n=1时2n-1＞（n-1）2 当n=2时，2n-1＞（n-1）2 当n=3时，2n-1=（n-1）2 当n=4时2n-1＜（n-1）2 当n=5时2n-1=（n-1）2 当n=6时  2n-1＞（n-1）2

当n=7，8时  2n-1＞（n-1）2

…

猜想当n≥6，2n-1＞（n-1）2 恒成立．m的最小值为6．

 或令n-1=t，在同一平面直角坐标系内函数y=2t与y=t2的图象

交于两点（2，4），（4，16），当t≥5时2t＞t2，所以当n≥6时，2n-1＞（n-1）2 恒成立，得m的最小值为6．

数学归纳法证明：

（1）当n=6时，26-1=25=32，（6-1）2=25，32＞25，2n-1＞（n-1）2 成立

（2）假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即有2k-1＞（k-1）2

则当n=k+1时，2（k+1）-1=2k=2•2k-1＞2•（k-1）2=k2+[（k-2）2-2]＞k2  （∵（k-2）2-2＞0）

=[（k+1）-1]2，即是说 当n=k+1时不等式也成立．

由（1）（2）可知当n≥6，时2n-1＞（n-1）2 恒成立．

解：（1）令n=1，S1=2a1-1．∴a1=1

又Sn+1=2an+1-（n+1），Sn=2an-n，

两式相减得，an+1=2an+1-2an-1，∴an+1=2an+1

∴a2=3，a3=7

（2）猜想an=2n-1

证明如下：①由（1）知，n=1时，结论成立；

②设n=k时，结论成立，即

则n=k+1时，=2k+1-1

即n=k+1时，结论成立

由①②可知，猜想成立．