- 数学归纳法
- 共1204题
设数列{an}的前n项和是Sn，Sn+an=
（1）求a1的值，并用n和an表示an+1；
（2）猜想数列{an}的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
正确答案
解：（1）由Sn+an=
当n≥2时，Sn+1+an+1=
∴2an+1-an=n+3，
∴
（2）由a1=2，a2=3，a3=4，…，
猜想an=n+1．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时成立；
②假设当n=k（k∈N*）时，ak=k+1．
则当n=k+1时，ak+1=
∴当n=k+1时，假设成立．
综上可得：∀n∈N*，an=n+1成立．
解析
解：（1）由Sn+an=
当n≥2时，Sn+1+an+1=
∴2an+1-an=n+3，
∴
（2）由a1=2，a2=3，a3=4，…，
猜想an=n+1．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时成立；
②假设当n=k（k∈N*）时，ak=k+1．
则当n=k+1时，ak+1=
∴当n=k+1时，假设成立．
综上可得：∀n∈N*，an=n+1成立．
某个命题与自然数n有关，如果当n=k（k∈N）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．那么当n=______ 时，该命题不成立，可推n=5时该命题也不成立．
正确答案
6
解析
解：如果当n=k（k∈N）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，
其逆否命题为：当n=k+1时该命题不成立，则当n=k（k∈N）时该命题也不成立．
所以，当n=6时该命题不成立，可推n=5时该命题也不成立，
故答案为：6．
观察下列算式：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
你能得出怎样的结论？
正确答案
解：1+3+5+…+（2n-1）=n2
数学归纳法：
（1）当n=1时，左=1=右，结论成立；
（2）假设n=k（k∈N*）时结论成立，即1+3+…+（2k-1）=k2成立．
则n=k+1时，
左边=1+3+…+（2k-1）+[2（k+1）-1]=k2+2k+1=（k+1）2=右边
则n=k+1时结论也成立；
综上所述，结论对于所有的自然数都成立．
解析
解：1+3+5+…+（2n-1）=n2
数学归纳法：
（1）当n=1时，左=1=右，结论成立；
（2）假设n=k（k∈N*）时结论成立，即1+3+…+（2k-1）=k2成立．
则n=k+1时，
左边=1+3+…+（2k-1）+[2（k+1）-1]=k2+2k+1=（k+1）2=右边
则n=k+1时结论也成立；
综上所述，结论对于所有的自然数都成立．
设f（x）=
（1）求f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3）；
（2）由（1）归纳出一般结论，并给出证明．
正确答案
解：（1）f（0）+f（1）=
同理可得：f（-1）+f（2）=f（-2）+f（3）=
（2）x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=
证明：设x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=
解析
解：（1）f（0）+f（1）=
同理可得：f（-1）+f（2）=f（-2）+f（3）=
（2）x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=
证明：设x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=
记
正确答案
证明：欲证不等式为（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1
（1）当n=1时，不等式左边=0，右边=0，不等式成立；
（2）假设n=k时，不等式成立，即（a+b）k-ak-bk≥22k-2k+1
由正实数a，b满足
∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2
则n=k+1时，不等式左边=（a+b）k+1-ak+1-bk+1=（a+b）[（a+b）k-ak-bk]+akb+abk
≥4（22k-2k+1）+2k+2=22k+2-2k+2
即n=k+1时成立
由（1）（2）可知，正实数a，b满足
解析
证明：欲证不等式为（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1
（1）当n=1时，不等式左边=0，右边=0，不等式成立；
（2）假设n=k时，不等式成立，即（a+b）k-ak-bk≥22k-2k+1
由正实数a，b满足
∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2
则n=k+1时，不等式左边=（a+b）k+1-ak+1-bk+1=（a+b）[（a+b）k-ak-bk]+akb+abk
≥4（22k-2k+1）+2k+2=22k+2-2k+2
即n=k+1时成立
由（1）（2）可知，正实数a，b满足
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