- 数学归纳法
- 共1204题
用数学归纳法证明
正确答案
解析
证明：∵
∴当n=1时，等式左边应为1+a+a2+a3，
故答案为：1+a+a2+a3．
用数学归纳法证明：
正确答案
解析
解：根据等式的特点，可知n=1时，左边=
故答案为：
用数学归纳法证明：1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+n•1=
正确答案
证明：设f（n）=1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+（n-1）•2+n•1．
（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；
（2）设当n=k时等式成立，即1•k+2•（k-1）+3•（k-2）+…+（k-1）•2+k•1=
则当n=k+1时，
f（k+1）=1•（k+1）+2[（k+1）-1]+3[（k+1）-2]+…+[（k+1）-2]•3+[（k+1）-1]•2+（k+1）•1
=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）
=
=
∴由（1）（2）可知当n∈N*时等式都成立．
解析
证明：设f（n）=1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+（n-1）•2+n•1．
（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；
（2）设当n=k时等式成立，即1•k+2•（k-1）+3•（k-2）+…+（k-1）•2+k•1=
则当n=k+1时，
f（k+1）=1•（k+1）+2[（k+1）-1]+3[（k+1）-2]+…+[（k+1）-2]•3+[（k+1）-1]•2+（k+1）•1
=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）
=
=
∴由（1）（2）可知当n∈N*时等式都成立．
若a＞0，a≠1，求证：
正确答案
证明：（1）当n=1时，
（2）假设n=k时不等式成立，即
则当n=k+1时，
故n=k+1时，不等式成立
（3）由（1）（2）可知命题对n∈N*时恒成立．
解析
证明：（1）当n=1时，
（2）假设n=k时不等式成立，即
则当n=k+1时，
故n=k+1时，不等式成立
（3）由（1）（2）可知命题对n∈N*时恒成立．
已知数列{an}满足an+1=a
（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）求证：2nn≤a
正确答案
解：（1）由已知an+1=a
由此猜测数列{an}的通项公式为an=n+1；
证明：①n=1，2，3，4显然成立；
②假设n=k时成立，即ak=k+1，则n=k+1时，ak+1=
所以n=k+1时，数列an=n+1也成立；
所以数列{an}的通项公式an=n+1对任意n∈N+都成立；
（2）因为an=n+1，所以
构造函数f（x）=（1+
即（n+1）n＜3nn；
所以2nn≤a
解析
解：（1）由已知an+1=a
由此猜测数列{an}的通项公式为an=n+1；
证明：①n=1，2，3，4显然成立；
②假设n=k时成立，即ak=k+1，则n=k+1时，ak+1=
所以n=k+1时，数列an=n+1也成立；
所以数列{an}的通项公式an=n+1对任意n∈N+都成立；
（2）因为an=n+1，所以
构造函数f（x）=（1+
即（n+1）n＜3nn；
所以2nn≤a
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