热门试卷

解：（Ⅰ）f（-1）=

（Ⅱ）（1）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．

①当n=1时，f（1）=1，结论成立．

②假设当n=k（k≥1，k∈N）时，结论成立，即是整数，则当n=k+1时，=

=f（k）+k4+4k3+6k2+4k+1

根据假设f（k）是整数，而k4+4k3+6k2+4k+1显然是整数．

∴f（k+1）是整数，从而当n=k+1时，结论也成立．

由①、②可知对对一切正整数n，f（n）是整数．…（7分）

（2）当n=0时，f（0）=0是整数．…（8分）

（3）当n为负整数时，令n=-m，则m是正整数，由（1）f（m）是整数，

所以==-f（m）+m4是整数．

综上，对一切整数n，f（n）一定是整数．…（10分）

解：（1）∵a1=1，an+1=，

∴a2==，a3==，a4==．             

（2）由（1），a1=，a2=，a3=，a4=，

可以猜想an=．                                    

（3）用数学归纳法证明：

ⅰ）当n=1时，a1==1，所以当n=1时猜想成立．             

ⅱ）假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak=，

当n=k+1时，ak+1===，

所以当n=k+1时猜想也成立．

由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想对任意的n∈N*都成立．                   

所以an=．

解：

猜想：

下面用数学归纳法加以证明：①n=1时，左边，右边

②假设n=k时，猜想成立，即

=

∴n=k+1时猜想也成立

根据1，2可知猜想对任何n∈N*都成立．

解：（1）求得a1=1，a2=2，a3=r，a4=3，a5=4，a6=r+2，a7=5，a8=6，a9=r+4

所以由a1+a2+a3+…+a9=34，可得．

（2）因为b1=1、b2=0、b3=-1、b4=0且bn+4=bn（n∈N*）．

a1=1，a2=2，a3=r，a4=3，a5=4，a6=r+2，a7=5，a8=6，a9=r+4…

T12=b1a1+b2a2+b3a3+…+b12a12=-4，T12n=-4n，

用数学归纳法证明：

当n∈Z+时，T12n=-4n．

①当n=1时，T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4，

等式成立

②假设n=k时等式成立，即T12k=-4k，

那么当n=k+1时，

T12（k+1）=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11

=-4k+（8k+1）-（8k+r）+（8k+4）-（8k+5）+（8k+r+4）-（8k+8）

=-4k-4=-4（k+1），

等式也成立．

根据①和②可以断定：当n∈Z+时，T12n=-4n．

（3）解：T12m=-4m（m≥1）．

当n=12m+1，12m+2时，Tn=4m+1；

当n=12m+3，12m+4时，Tn=-4m+1-r；

当n=12m+5，12m+6时，Tn=4m+5-r；

当n=12m+7，12m+8时，Tn=-4m-r；

当n=12m+9，12m+10时，Tn=4m+4；

当n=12m+11，12m+12时，Tn=-4m-4．

∵4m+1是奇数，-4m+1-r，-4m-r，-4m-4均为负数，

∴这些项均不可能取到100．

∴4m+5-r=4m+4=100，解得m=24，r=1．

此时T293，T294，T297，T298为100．